AM-GM
AM-GM
Tutti la usano...tutti la conoscono...eppure nessuno e dico nessuno ne parla...
Già da quando ho postato i primi problemi su questo forum qualche utente mi ha rifilato la frase "per l'AM-GM ..."
E io mi incuriosivo sempre di più e sbattevo la testa per capirlo...
Scrivo su google AM-GM e mi esce come risultato(pagine provenienti da Italia) quello che gli utenti hanno scritto su questo forum e su oliForum!!!
Maledetto AM-GM...e il bello sapete qual'è?Che a tutti quelli a cui ho chiesto questa cosa mi hanno detto semplicemente...no ma AM-GM giustifica solo questo passaggio e vuol dire questo...
Basta mi sono praticamente scocciato e così ho aperto google, ho incluso i risultati su tutto il web e ho trovato su wikipedia.com (non in ita) cosa vuol dire AM-GM...
Per tutti gli utenti che non me l'hanno detto...per tutti quelli che se lo sono sempre chiesto ecco cosa significa
[size=150]AM-GM[/size](arithmetic mean and geometric mean) ovvero media aritmetica e media geometrica...
definiamo bene cos'è la media aritmetica(AM)
AM=$(x_1+x_2+x_3+...+x_n)/n$
e la media geometrica(GM)
GM=$\root{n}{x_1*x_2*x_3*...*x_n}$
Grazie ad AM-GM si può affermare che la media aritmetica(AM) è sempre maggiore o al limite uguale alla media geometrica
ovvero
$(x_1+x_2+x_3+...+x_n)/n>=\root{n}{x_1*x_2*x_3*...*x_n}$
si ha l'ugualianza nel caso in cui $x_1=x_2=x_3=...=x_n$
detto questo detto tutto...alla faccia di tutti quelli che non hanno voluto perdere 5 min per spiegare questa cavolata...
Ci ho pensato io...
anche se resta aperto un dobbio...per quale motivo vale questa disugualianza?
Almeno questo ditelo se lo sapete...
Tutti la usano...tutti la conoscono...eppure nessuno e dico nessuno ne parla...
Già da quando ho postato i primi problemi su questo forum qualche utente mi ha rifilato la frase "per l'AM-GM ..."
E io mi incuriosivo sempre di più e sbattevo la testa per capirlo...
Scrivo su google AM-GM e mi esce come risultato(pagine provenienti da Italia) quello che gli utenti hanno scritto su questo forum e su oliForum!!!
Maledetto AM-GM...e il bello sapete qual'è?Che a tutti quelli a cui ho chiesto questa cosa mi hanno detto semplicemente...no ma AM-GM giustifica solo questo passaggio e vuol dire questo...
Basta mi sono praticamente scocciato e così ho aperto google, ho incluso i risultati su tutto il web e ho trovato su wikipedia.com (non in ita) cosa vuol dire AM-GM...
Per tutti gli utenti che non me l'hanno detto...per tutti quelli che se lo sono sempre chiesto ecco cosa significa
[size=150]AM-GM[/size](arithmetic mean and geometric mean) ovvero media aritmetica e media geometrica...
definiamo bene cos'è la media aritmetica(AM)
AM=$(x_1+x_2+x_3+...+x_n)/n$
e la media geometrica(GM)
GM=$\root{n}{x_1*x_2*x_3*...*x_n}$
Grazie ad AM-GM si può affermare che la media aritmetica(AM) è sempre maggiore o al limite uguale alla media geometrica
ovvero
$(x_1+x_2+x_3+...+x_n)/n>=\root{n}{x_1*x_2*x_3*...*x_n}$
si ha l'ugualianza nel caso in cui $x_1=x_2=x_3=...=x_n$
detto questo detto tutto...alla faccia di tutti quelli che non hanno voluto perdere 5 min per spiegare questa cavolata...
Ci ho pensato io...
anche se resta aperto un dobbio...per quale motivo vale questa disugualianza?
Almeno questo ditelo se lo sapete...
Risposte
Si dimostra, non è una cosa ovvia. Ora proprio non ricordo come...
Ottimo TomSawyer. Come vedi, angus89, non è per nulla un'ovvietà, e comunque qui con AM-GM si intende proprio il teorema che asserisce tale disuguaglianza. Conoscevo anche una dimostrazione che fa uso del metodo dei moltiplicatori di Lagrange, se ho tempo la cerco e la posto
"zorn":
Ottimo TomSawyer. Come vedi, angus89, non è per nulla un'ovvietà, e comunque qui con AM-GM si intende proprio il teorema che asserisce tale disuguaglianza. Conoscevo anche una dimostrazione che fa uso del metodo dei moltiplicatori di Lagrange, se ho tempo la cerco e la posto
guarda che io ho aperto questo post proprio per questo...xkè non è un'ovvietà...
cmq mi sto vedendo il link...spero ci capirlo
Ha ragione Zorn:la dimostrazione generale non e' delle piu' semplici.
Se interessa ,ti posto la dim. nel caso di n=2,3,4 termini.
1)n=2,x>0,y>0
Partiamo da :
$(x-y)^2>=0$
Quindi :
$x^2+y^2>=2xy$
Posto ora $x=sqrta,y=sqrtb$, risulta
$a+b>=2sqrt(ab)$ ,da cui $(a+b)/2>=sqrt(ab)$ che e' l'asserto
2)n=3,x,y,z>0
Partiamo da :
$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0$
Quindi:
$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx>=0$
Moltiplichiamo per (x+y+z) [che e ' positivo]:
$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)>=0$
Ovvero :
$x^3+y^3+z^3-3xyz>=0$
Ponendo $x=root[3]a,y=root[3]b,z=root[3]c$ si ha:
$a+b+c-root[3](abc)>=0$ da cui appunto $(a+b+c)/3>=root[3](abc)$
3)n=4,x,y,z,t>0
Qui possiamo agire direttamente applicando due volte il caso (1).Abbiamo:
$(x+y+z+t)=(x+y)+(z+t)>=2sqrt(xy)+2sqrt(zt)=2(sqrt(xy)+sqrt(zt))$
Cioe':
$x+y+z+t>=2[2sqrt((sqrt(xy)sqrt(zt)))]=4root[4](xyzt)$ da cui:
$(x+y+z+t)/4>=root[4](xyzt)$
che era quanto da dimostrare.
P.S.
Per le altre dimostrazioni ,ovvero quella con Jensen e quella con i moltiplicatori,le trovo
carine ma forse non proporzionate alle attuali conoscenze di angus89 che e' allo studio dei limiti ( se non erro).
Una dimostrazione elementare ,fatta con mezzi piu' ...modesti,la conosco ma e' lunga da scrivere.
Se mi ricapita la posto.
Se interessa ,ti posto la dim. nel caso di n=2,3,4 termini.
1)n=2,x>0,y>0
Partiamo da :
$(x-y)^2>=0$
Quindi :
$x^2+y^2>=2xy$
Posto ora $x=sqrta,y=sqrtb$, risulta
$a+b>=2sqrt(ab)$ ,da cui $(a+b)/2>=sqrt(ab)$ che e' l'asserto
2)n=3,x,y,z>0
Partiamo da :
$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0$
Quindi:
$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx>=0$
Moltiplichiamo per (x+y+z) [che e ' positivo]:
$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)>=0$
Ovvero :
$x^3+y^3+z^3-3xyz>=0$
Ponendo $x=root[3]a,y=root[3]b,z=root[3]c$ si ha:
$a+b+c-root[3](abc)>=0$ da cui appunto $(a+b+c)/3>=root[3](abc)$
3)n=4,x,y,z,t>0
Qui possiamo agire direttamente applicando due volte il caso (1).Abbiamo:
$(x+y+z+t)=(x+y)+(z+t)>=2sqrt(xy)+2sqrt(zt)=2(sqrt(xy)+sqrt(zt))$
Cioe':
$x+y+z+t>=2[2sqrt((sqrt(xy)sqrt(zt)))]=4root[4](xyzt)$ da cui:
$(x+y+z+t)/4>=root[4](xyzt)$
che era quanto da dimostrare.
P.S.
Per le altre dimostrazioni ,ovvero quella con Jensen e quella con i moltiplicatori,le trovo
carine ma forse non proporzionate alle attuali conoscenze di angus89 che e' allo studio dei limiti ( se non erro).
Una dimostrazione elementare ,fatta con mezzi piu' ...modesti,la conosco ma e' lunga da scrivere.
Se mi ricapita la posto.
"TomSawyer":
http://www.everything2.com/index.pl?node_id=1264355
Non ho capito la seconda dimostrazione: $S_n$ implies $S_(n-1)$
Let $A$ be the arithmetic mean and $G$ be the geometric mean of the first n-1 terms, and fix $x_n=G$. Then $S_n$ can be written as:
$(A(n-1) + G)/n>=(G^(n-1)cdotG)^(1/n)$
$A(n-1)+G>=nG$
$A (n-1)>=G(n-1)$
$A>=G$
This completes the proof
Subito noto una cosa: prima dice "sia G una media gometrica dei primi n-1 termini", poi fa: fix $G=x_n$
Cosa è questo $G$, la media geometrica o l'ennesimo termine?
Magari chiarito questo posso capire anche perchè la disuguaglianza iniziale equivale a $S_n$
Ciao.
Nel link che è stato mandato, nella dimostrazione attraverso il triangolo rettangolo, viene escluso il caso in cui la media aritmetica e geometrica coincidano, perché un cateto non può mai essere uguale all'ipotenusa giusto??
Poi fa "$x_n=G$", cioè fissa l'ennesimo termine e riscrive la disuguaglianza tenendo conto di questo fatto.
Ecco un'altra dimostrazione. Si supponga $x_i>0, c=root[n](x_1\cdots x_n), a_1=x_1/c, ..., a_n=(x_1\cdots x_n)/(c^n)=1, b_1=1/a_1,...., b_n=1/a_n=1$. Siccome $a_i$ è decrescente e $b_i$ crescente, si ha che $a_1b_1+...+a_nb_n
Ecco un'altra dimostrazione. Si supponga $x_i>0, c=root[n](x_1\cdots x_n), a_1=x_1/c, ..., a_n=(x_1\cdots x_n)/(c^n)=1, b_1=1/a_1,...., b_n=1/a_n=1$. Siccome $a_i$ è decrescente e $b_i$ crescente, si ha che $a_1b_1+...+a_nb_n
Va bè ma cosa ci perdete a mettere un pò di chiarezza in tutto?
Allora...io posto il mio ragionamento personale che risulta essere una sorta di unione tra gli esempi e le dimostrazioni che vengono fatte...
ricordiamo quello che vogliamo dimostrare
$(x_1+x_2+x_3+...+x_n)/n>=\root{n}{x_1*x_2*x_3*...*x_n}$
allora partiamo dalla disugualianza intuitiva
$(a-b)^2>=0$
fin qui siamo daccordo?
ora utilizzando la stessa disugualianza sostituiamo $sqrt(a)$ ad $a$ e $sqrt(b)$ a $b$
$(sqrt(a)-sqrt(b))^2>=0$
$a+b-2sqrt(a*b)>=0$
$(a+b)/2>=sqrt(a*b)$
e fin qui ci siamo...diciamo che abbiamo anche dimostrato la disugualianza per $n=2$..prò a noi interessa un'altra cosa...teniamo a mente l'ultimo risultato...
Andiamo avanti e introduciamo l'induzione...
Con l'induzione vogliamo dimostrare che $S_(2n)$ implica $S_2$...
Ovvero preso un qualsiasi valore di $2n$ è possibile ricondurlo al caso in cui $n=2$
l'ipotesi dell'induzione è proprio quello che vogliamo dimostrare ma invece che utilizzare $n$ utiliaaziomo $2n$ e riscriviamo il tutto
$(x_1+x_2+...+x_n+x_(n+1)+...x_(2n))/(2n)>=\root{2n}{x_1*x_2*...*x_n*x_(n+1)*...x_(2n)}$
$((x_1+x_2+...+x_n+x_(n+1)+...x_(2n))/n)1/2>=(\root{n}{x_1*x_2*...*x_n*x_(n+1)*...x_(2n)})^(1/2)$
$((x_1+x_2+...+x_n)/n+(x_(n+1)+...x_(2n))/n)*1/2>=(\root{n}{x_1*x_2*...*x_n}*\root{n}{x_(n+1)*...x_(2n)})^(1/2)$
ora
sia $a$ l'AM di $x_1...x_n$
sia $b$ l'AM di $x_(n+1)...x_(2n)$
sia $c$ l'GM di $x_1...x_n$
sia $d$ l'GM di $x_(n+1)...x_(2n)$
per sostituzione otteniamo
$(a+b)/2>=(c*d)^(1/2)$
ma l'ipotesi dell'induzione di diceva che
$a>c$ e che $b>d$ (ovvero che la media aritmetica è maggiore uguale della geometrica$
quindi $(a*b)^(1/2)>=(c*d)^(1/2)$
quindi
$(a+b)/2>=(a*b)^(1/2)>=(c*d)^(1/2)$
$(a+b)/2>=(a*b)^(1/2)$
$(a+b)/2>=sqrt(a*b)$
l'ultima espressione altro non è che il caso in cui $n=2$...
Quindi con l'induzione abbiamo dimostrato che la disugualianza è vera dato che è possibile ricondurla da un generico $2n$ ad $n=2$
Spero sia chiaro e spero che qualcuno trai vantaggio da ciò...
Allora...io posto il mio ragionamento personale che risulta essere una sorta di unione tra gli esempi e le dimostrazioni che vengono fatte...
ricordiamo quello che vogliamo dimostrare
$(x_1+x_2+x_3+...+x_n)/n>=\root{n}{x_1*x_2*x_3*...*x_n}$
allora partiamo dalla disugualianza intuitiva
$(a-b)^2>=0$
fin qui siamo daccordo?
ora utilizzando la stessa disugualianza sostituiamo $sqrt(a)$ ad $a$ e $sqrt(b)$ a $b$
$(sqrt(a)-sqrt(b))^2>=0$
$a+b-2sqrt(a*b)>=0$
$(a+b)/2>=sqrt(a*b)$
e fin qui ci siamo...diciamo che abbiamo anche dimostrato la disugualianza per $n=2$..prò a noi interessa un'altra cosa...teniamo a mente l'ultimo risultato...
Andiamo avanti e introduciamo l'induzione...
Con l'induzione vogliamo dimostrare che $S_(2n)$ implica $S_2$...
Ovvero preso un qualsiasi valore di $2n$ è possibile ricondurlo al caso in cui $n=2$
l'ipotesi dell'induzione è proprio quello che vogliamo dimostrare ma invece che utilizzare $n$ utiliaaziomo $2n$ e riscriviamo il tutto
$(x_1+x_2+...+x_n+x_(n+1)+...x_(2n))/(2n)>=\root{2n}{x_1*x_2*...*x_n*x_(n+1)*...x_(2n)}$
$((x_1+x_2+...+x_n+x_(n+1)+...x_(2n))/n)1/2>=(\root{n}{x_1*x_2*...*x_n*x_(n+1)*...x_(2n)})^(1/2)$
$((x_1+x_2+...+x_n)/n+(x_(n+1)+...x_(2n))/n)*1/2>=(\root{n}{x_1*x_2*...*x_n}*\root{n}{x_(n+1)*...x_(2n)})^(1/2)$
ora
sia $a$ l'AM di $x_1...x_n$
sia $b$ l'AM di $x_(n+1)...x_(2n)$
sia $c$ l'GM di $x_1...x_n$
sia $d$ l'GM di $x_(n+1)...x_(2n)$
per sostituzione otteniamo
$(a+b)/2>=(c*d)^(1/2)$
ma l'ipotesi dell'induzione di diceva che
$a>c$ e che $b>d$ (ovvero che la media aritmetica è maggiore uguale della geometrica$
quindi $(a*b)^(1/2)>=(c*d)^(1/2)$
quindi
$(a+b)/2>=(a*b)^(1/2)>=(c*d)^(1/2)$
$(a+b)/2>=(a*b)^(1/2)$
$(a+b)/2>=sqrt(a*b)$
l'ultima espressione altro non è che il caso in cui $n=2$...
Quindi con l'induzione abbiamo dimostrato che la disugualianza è vera dato che è possibile ricondurla da un generico $2n$ ad $n=2$
Spero sia chiaro e spero che qualcuno trai vantaggio da ciò...
"angus89":speriamo che te la cavi
pò
disugualianza
daccordo
disugualianza
disugualianza
disugualianza
spero che qualcuno trai vantaggio
Quanto alle cose minori, ovvero alla matematica, cito da https://www.matematicamente.it/f/-vp99563.html#99563:
"Fioravante Patrone":
Per me il principio d'induzione ci dice che possiamo attraversare un fiume se siamo sul primo sasso e se da ogni sasso riusciamo a passare al successivo.
per dire che non vedo come fai a zompare sul sasso numero 3.
"licio":
$(x+y+z+t)=(x+y)+(z+t)>=2sqrt(xy)+2sqrt(zt)=2(sqrt(xy)+sqrt(zt))$
Cioe':
$x+y+z+t>=$$2[2sqrt((sqrt(xy)sqrt(zt)))]$$=4root[4](xyzt)$
scusate, qualcuno mi può spiegare come è arrivato al punto evidenziato, non riesco a capire che calcolo ha fatto.
Ho applicato di nuova il primo caso a $sqrt(xy)+sqrt(zt)$ percui viene:
$sqrt(xy)+sqrt(zt)>=2sqrt(sqrt(xy)*sqrt(zt))=2sqrt(sqrt(xyzt))=2root[4](xyzt)$
da sostituire poi nell'espressione precedente.
$sqrt(xy)+sqrt(zt)>=2sqrt(sqrt(xy)*sqrt(zt))=2sqrt(sqrt(xyzt))=2root[4](xyzt)$
da sostituire poi nell'espressione precedente.
"Fioravante Patrone":speriamo che te la cavi
[quote="angus89"]pò
disugualianza
daccordo
disugualianza
disugualianza
disugualianza
spero che qualcuno trai vantaggio
[/quote]Sai a che ora ho scitto il messaggio?No?Te lo dico io...l'ho scritto alle due di notte...anche se sul forum non risulta...
L'ho scritto dopo aver bevuto un sacco di birra ad una festa...non me ne vergogno...cavolo una festa di sabato sera...
Quindi logico qualche errore...però da un punto di vista matematico sono convinto che sia giusta la dimostrazione...
"Fioravante Patrone":
Quanto alle cose minori, ovvero alla matematica
che bello fai anche il sarcastico
"Fioravante Patrone":[/quote]
cito da https://www.matematicamente.it/f/-vp99563.html#99563:
[quote="Fioravante Patrone"]
Per me il principio d'induzione ci dice che possiamo attraversare un fiume se siamo sul primo sasso e se da ogni sasso riusciamo a passare al successivo.
Non immagini quanto mi piaccia questo esempio...sai nessuno me lo aveva mia spiegato così...io l'avevo anche inteso in un altro modo...
Se una determinata ipotesi la riteniamo giusta per un valore $n$, e con il metodo dell'induzione dimostriamo che essa vale anche per un altro generico valore ad esempio $n+1$ oppure $n+2$ o anche $2n$, utilizzando proprio il metodo dell'induzione...ovvero riconducendol'ipotesi(equazione, disequazione, ecc) con i valori $n+1$ oppure $n+2$ o anche $2n$ all'ipotesi di partenza con i valori di $n$...
In genere si utilizza $n+1$ ecco perchè il tuo esempio mi piace...Se mi sbaglio correggetemi pure
"Fioravante Patrone":
per dire che non vedo come fai a zompare sul sasso numero 3.
Per quanto riguarda me...
Ecco la mia dimostrazione detta a parole...ovvero un piccolo commento...
Sei daccordo con me che ho dimostrato che per $n=2$ vale l'AM-GM?
E' stata la prima cosa che ho dimostrato...
A questo punto ti dimostro che questa relazione vale per qualsiasi valore di $n$...
Come?
Ho dimostrato che se divido in due parti $n$ in modo da poterlo scrivere come un prodotto di $2$ per $n/2$, e applico l'ipotesi dell'induzione è possibile riportare la disuguaglianza all'ipotesi $n=2$ che sappiamo per certo esser vera...
(io ho scritto direttamente $2n$ ma sarebe stato oppurtuno scrivere $n=2x$ ad esempio)
E ora un attacco a tutti gli utenti...
Allora sottolineo il fatto che in realtà non voglio attaccare nessuno perchè comunque vi stimo...anche per Fioravante...ti stimo troppo quindi più che un attacco è una difesa...
Quello che succede su questo forum è che tutti gli utenti sono poco interessati ad aiutarsi a vicenda...sono più soddistatti se riescono a risolvere un esercizio che se riescono a far capire a quello che l'ha postato come hanno fatto...
E questo non mi sta bene...
Comunque io credo sia necessario aprire un nuovo argomento...non un topic...
Qui gli utenti potranno richiedere: dimostrazioni e spiegazioni...
Dovrebbe esser vietato postare link...nel senso che un link di un sito scritto in inglese non è che aiuti molto...
E quindi creare una raccolta di dimostrazioni di teoremi vari...
Ad esempio fare una lista di tutti i teoremi o le dimostrazioni richeste che ogni utente potrà leggere e se può mettere la sua dimostrazione...
Io credo sia un'ottima idea...
Cominciamo da ora...
A quanto pare alcuni utenti non gradiscono la mia dimostrazione...postate la vostra...
Aiutiamoci...diffondiamo la conoscenza...
Posto la mia dimostrazione .
Per n= 2 il teorema e' vero .Dimostro che se vale per un n generico vale anche per 2n.
Si ha infatti:
$(x_1+x_2+x_3+x_4+...+x_(2n-1)+x_(2n))/(2n)=((x_1+x_2)/2+(x_3+x_4)/2+...+(x_(2n-1)+x_(2n))/2)/n$
Poiche' a secondo membro compaiono n coppie,per l'ipotesi fatta si avra':
$(x_1+x_2+x_3+x_4+...+x_(2n-1)+x_(2n))/(2n)>=root[n]((x_1+x_2)/2*(x_3+x_4)/2*...*(x_(2n-1)+x_(2n))/2)$
Ma il teorema vale anche per n=2 e dunque:
$(x_1+x_2+x_3+x_4+...+x_(2n-1)+x_(2n))/(2n)>=root[n](root[](x_1x_2)*root[](x_3x_4)*...*root[](x_(2n-1)x_(2n)))=root[2n](x_1x_2x_3x_4..x_(2n-1)x_(2n))$
Poiche' il teorema e' valido per n=2 sara' valido allora per n=2*2=4 e poi per n=4*2=8,etc ovvero vale per ogni
n che sia potenza del 2.Resta da dimostrare che la cosa si verifica anche quando n non e' potenza del 2.
Poniamo allora $n+q=2^m$ (dove q>0 rappresenta appunto la parte che occorre aggiungere ad n per farlo diventare potenza del 2 ).
Introduciamo allora altre q variabili ausiliarie ( tutte uguali ) date da :
$x_(n+1)=x_(n+2)=...=x_(n+q)=(x_1+x_2+x_3+...+x_n)/n$
A questo punto la variabili $x_1,x_2,...x_(n+q)$ sono in numero di $n+q=2^m$ e possiamo applicare ad esse il risultato gia' trovato.
Si ha quindi:
$(x_1+x_2+...+x_n+x_(n+1)+x_(n+2)+..+x_(n+q))/(n+q)>=root[n+q)(x_1*x_2*...*x_n*x_(n+1)*...*x_(n+q))$
Tenendo conto del valore delle variabili ausiliarie,risulta:
$(x_1+x_2+...+x_n+q*(x_1+x_2+..x_n)/n)/(n+q)>=root[n+q)(x_1*x_2*...*x_n*((x_1+x_2+..+x_n)/n)^q)$
Ovvero:
$(x_1+x_2+..+x_n)/n>=root[n+q)(x_1*x_2*...*x_n*((x_1+x_2+..+x_n)/n)^q)$
Elevando tutto ad n+q:
$((x_1+x_2+..+x_n)/n)^(n+q)>=x_1*x_2*...*x_n*((x_1+x_2+..+x_n)/n)^q$
Semplificando per $((x_1+x_2+..+x_n)/n)^q$:
$((x_1+x_2+..+x_n)/n)^n>=x_1*x_2*...*x_n$
Infine estraendo la radice ennesima:
$(x_1+x_2+..+x_n)/n>=root[n](x_1*x_2*...*x_n)$
Concludendo la relazione vale sia per n potenza del 2 ,sia per n non potenza del 2 e quindi vale per n qualunque.
Per n= 2 il teorema e' vero .Dimostro che se vale per un n generico vale anche per 2n.
Si ha infatti:
$(x_1+x_2+x_3+x_4+...+x_(2n-1)+x_(2n))/(2n)=((x_1+x_2)/2+(x_3+x_4)/2+...+(x_(2n-1)+x_(2n))/2)/n$
Poiche' a secondo membro compaiono n coppie,per l'ipotesi fatta si avra':
$(x_1+x_2+x_3+x_4+...+x_(2n-1)+x_(2n))/(2n)>=root[n]((x_1+x_2)/2*(x_3+x_4)/2*...*(x_(2n-1)+x_(2n))/2)$
Ma il teorema vale anche per n=2 e dunque:
$(x_1+x_2+x_3+x_4+...+x_(2n-1)+x_(2n))/(2n)>=root[n](root[](x_1x_2)*root[](x_3x_4)*...*root[](x_(2n-1)x_(2n)))=root[2n](x_1x_2x_3x_4..x_(2n-1)x_(2n))$
Poiche' il teorema e' valido per n=2 sara' valido allora per n=2*2=4 e poi per n=4*2=8,etc ovvero vale per ogni
n che sia potenza del 2.Resta da dimostrare che la cosa si verifica anche quando n non e' potenza del 2.
Poniamo allora $n+q=2^m$ (dove q>0 rappresenta appunto la parte che occorre aggiungere ad n per farlo diventare potenza del 2 ).
Introduciamo allora altre q variabili ausiliarie ( tutte uguali ) date da :
$x_(n+1)=x_(n+2)=...=x_(n+q)=(x_1+x_2+x_3+...+x_n)/n$
A questo punto la variabili $x_1,x_2,...x_(n+q)$ sono in numero di $n+q=2^m$ e possiamo applicare ad esse il risultato gia' trovato.
Si ha quindi:
$(x_1+x_2+...+x_n+x_(n+1)+x_(n+2)+..+x_(n+q))/(n+q)>=root[n+q)(x_1*x_2*...*x_n*x_(n+1)*...*x_(n+q))$
Tenendo conto del valore delle variabili ausiliarie,risulta:
$(x_1+x_2+...+x_n+q*(x_1+x_2+..x_n)/n)/(n+q)>=root[n+q)(x_1*x_2*...*x_n*((x_1+x_2+..+x_n)/n)^q)$
Ovvero:
$(x_1+x_2+..+x_n)/n>=root[n+q)(x_1*x_2*...*x_n*((x_1+x_2+..+x_n)/n)^q)$
Elevando tutto ad n+q:
$((x_1+x_2+..+x_n)/n)^(n+q)>=x_1*x_2*...*x_n*((x_1+x_2+..+x_n)/n)^q$
Semplificando per $((x_1+x_2+..+x_n)/n)^q$:
$((x_1+x_2+..+x_n)/n)^n>=x_1*x_2*...*x_n$
Infine estraendo la radice ennesima:
$(x_1+x_2+..+x_n)/n>=root[n](x_1*x_2*...*x_n)$
Concludendo la relazione vale sia per n potenza del 2 ,sia per n non potenza del 2 e quindi vale per n qualunque.
"angus89":
[quote="Fioravante Patrone"]Quanto alle cose minori, ovvero alla matematica
che bello fai anche il sarcastico
[/quote]veramente ero serio, ma fa niente"angus89":
[quote="Fioravante Patrone"]per dire che non vedo come fai a zompare sul sasso numero 3.
Per quanto riguarda me...
Ecco la mia dimostrazione detta a parole...ovvero un piccolo commento...
Sei daccordo con me che ho dimostrato che per $n=2$ vale l'AM-GM?
E' stata la prima cosa che ho dimostrato...
A questo punto ti dimostro che questa relazione vale per qualsiasi valore di $n$...
Come?
Ho dimostrato che se divido in due parti $n$ in modo da poterlo scrivere come un prodotto di $2$ per $n/2$, e applico l'ipotesi dell'induzione è possibile riportare la disuguaglianza all'ipotesi $n=2$ che sappiamo per certo esser vera...
(io ho scritto direttamente $2n$ ma sarebe stato oppurtuno scrivere $n=2x$ ad esempio)[/quote]
A me sembra difficile dividere 3 per 2 e ottenere un numero intero.
"Fioravante Patrone":
A me sembra difficile dividere 3 per 2 e ottenere un numero intero.
A me sembra impossibile ...però possiamo prenderla per buona dicendo che abbiamo dimostrato che vale se $n$ è pari...
Va bè...
Niente male neanche la dimostrazione di licio...anzi...davvero esaustiva
"licio":
Posto la mia dimostrazione .
Per n= 2 il teorema e' vero .Dimostro che se vale per un n generico vale anche per 2n.
Si ha infatti:
...
Ma il teorema vale anche per n=2 e dunque:
...
Resta così dimostrato che il teorema vale per n pari
no
Anche se poi il resto della dim usa solo quanto è stato provato sin qui, e cioè che vale per le potenze di 2.
Non vorrei che venisse traviato angus89, con le sue idee di dimostrazioni esaustive
"angus89":
Va bè...
Se per te va bene, figurati per me.
Però sarebbe meglio fare dim giuste anziché sbagliate.
logico...comunque a me sembrava giusta...perchè è vero che non vale per tutti gli $n$ pari, questo è un errore, ma questo punto non serve dato che quello che viene detto dopo si basa sul fatto che $n$ fosse in precedenza una potenza di 2...
Quindi quell'errore(almeno credo) non pregiudica il resto della dimostrazione...
Il mio "va bè" era pura rassegnazione sul fatto che la mia dimostrazione non andava bene, nel senso che si limita ad $n$ pari...
Resta da dimostrare $n$ dispari...
Anche io credo che deve esser postata una dimostrazione corretta...anzi...
Quindi quell'errore(almeno credo) non pregiudica il resto della dimostrazione...
Il mio "va bè" era pura rassegnazione sul fatto che la mia dimostrazione non andava bene, nel senso che si limita ad $n$ pari...
Resta da dimostrare $n$ dispari...
Anche io credo che deve esser postata una dimostrazione corretta...anzi...
Arrivo pure io a capire che il teorema non vale ,ad esempio,per n=6
se non si e' preventivamente asserito ( o dimostrato) che vale per n=3 (essendo gia' vera per n=2).
Ed e' quello che ho fatto nelle righe precedenti la frase in questione,altrimenti
non ci sarebbe stato bisogno di una dimostrazione preliminare.
Insomma per farla breve intendevo dire che se e' vera per n=2 e' vera anche per n=2*2=4,
e se e' vera per n=4 lo e' anche per n=2*4=8,etc.Questo e' il senso della frase " si e' dimostrato
che e' vera per n pari".L'affermazione "incriminata " e' errata se presa alla lettera ed isolata dal contesto.
Non ci sono dubbi.Ma la sua intepretazione letterale e' andata ben oltre le mie premesse.
Che ci sia sotto qualche altra cosa?
se non si e' preventivamente asserito ( o dimostrato) che vale per n=3 (essendo gia' vera per n=2).
Ed e' quello che ho fatto nelle righe precedenti la frase in questione,altrimenti
non ci sarebbe stato bisogno di una dimostrazione preliminare.
Insomma per farla breve intendevo dire che se e' vera per n=2 e' vera anche per n=2*2=4,
e se e' vera per n=4 lo e' anche per n=2*4=8,etc.Questo e' il senso della frase " si e' dimostrato
che e' vera per n pari".L'affermazione "incriminata " e' errata se presa alla lettera ed isolata dal contesto.
Non ci sono dubbi.Ma la sua intepretazione letterale e' andata ben oltre le mie premesse.
Che ci sia sotto qualche altra cosa?
"licio":
Arrivo pure io a capire che il teorema non vale ,ad esempio,per n=6
se non si e' preventivamente asserito ( o dimostrato) che vale per n=3 (essendo gia' vera per n=2).
Ed e' quello che ho fatto nelle righe precedenti la frase in questione,altrimenti
non ci sarebbe stato bisogno di una dimostrazione preliminare.
Insomma per farla breve intendevo dire che se e' vera per n=2 e' vera anche per n=2*2=4,
e se e' vera per n=4 lo e' anche per n=2*4=8,etc.Questo e' il senso della frase " si e' dimostrato
che e' vera per n pari".L'affermazione "incriminata " e' errata se presa alla lettera ed isolata dal contesto.
Non ci sono dubbi.Ma la sua intepretazione letterale e' andata ben oltre le mie premesse.
Che ci sia sotto qualche altra cosa?
Sì, mi sembra evidente che sotto c'è dell'altro, karl.
Ma non è quello che pensi tu.
Casomai avrei avuto da ridire sulla tua inconfondibilmente scorretta punteggiatura.
Basta leggere le mie due misere righe di commento:
Anche se poi il resto della dim usa solo quanto è stato provato sin qui, e cioè che vale per le potenze di 2.
Non vorrei che venisse traviato angus89, con le sue idee di dimostrazioni esaustive
C'era l'intento di far notare ad un giovine imberbe che la dim da lui aveva reputata esaustiva conteneva una asserzione scorretta, pur se poi irrilevante per la dim finale (così l'ho detto tre volte. Spero che basti). Visti i precedenti, ovvero che questo giovine trascura dettagli tipo la non divisibilità di 3 per 2, non vorrei pensasse che i numeri pari coincidono con le potenze di 2. Chissà mai...
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