AM-GM

[angus89]

AM-GM
Tutti la usano...tutti la conoscono...eppure nessuno e dico nessuno ne parla...
Già da quando ho postato i primi problemi su questo forum qualche utente mi ha rifilato la frase "per l'AM-GM ..."
E io mi incuriosivo sempre di più e sbattevo la testa per capirlo...
Scrivo su google AM-GM e mi esce come risultato(pagine provenienti da Italia) quello che gli utenti hanno scritto su questo forum e su oliForum!!!
Maledetto AM-GM...e il bello sapete qual'è?Che a tutti quelli a cui ho chiesto questa cosa mi hanno detto semplicemente...no ma AM-GM giustifica solo questo passaggio e vuol dire questo...
Basta mi sono praticamente scocciato e così ho aperto google, ho incluso i risultati su tutto il web e ho trovato su wikipedia.com (non in ita) cosa vuol dire AM-GM...
Per tutti gli utenti che non me l'hanno detto...per tutti quelli che se lo sono sempre chiesto ecco cosa significa




[size=150]AM-GM[/size](arithmetic mean and geometric mean) ovvero media aritmetica e media geometrica...
definiamo bene cos'è la media aritmetica(AM)

AM=$(x_1+x_2+x_3+...+x_n)/n$

e la media geometrica(GM)
GM=$\root{n}{x_1*x_2*x_3*...*x_n}$

Grazie ad AM-GM si può affermare che la media aritmetica(AM) è sempre maggiore o al limite uguale alla media geometrica
ovvero
$(x_1+x_2+x_3+...+x_n)/n>=\root{n}{x_1*x_2*x_3*...*x_n}$

si ha l'ugualianza nel caso in cui $x_1=x_2=x_3=...=x_n$

detto questo detto tutto...alla faccia di tutti quelli che non hanno voluto perdere 5 min per spiegare questa cavolata...
Ci ho pensato io...

anche se resta aperto un dobbio...per quale motivo vale questa disugualianza?
Almeno questo ditelo se lo sapete...

[TomSawyer1]

"angus89":Anche io credo che deve esser postata una dimostrazione corretta

Ce ne sono varie nel link e una te l'ho postata io . Quante te ne servono?

[Sk_Anonymous]

karl,chi era costui?

Ho modificato il post "maledetto" ed ora angus89 potra' utilizzarlo senza venirne traviato.Almeno spero.
Tuttavia ,rileggendo quanto ha scritto angus89,non posso che convenire con lui quando
si lamenta dell'eccessivo tecnicismo di certe risposte.Alla fine siamo nella sezione "Superiori"...
Mi aspetto che qualche altro posti una soluzione "elementare " del quesito.Se cio' dovesse
accadere e se la relativa dimostrazione fosse "umana" e adatta ad un maturando ,m'impegno
a cancellare la mia subito dopo.

[TomSawyer1]

Secondo me, serve anche un piccolo sforzo da parte di chi legge. (Angus89 si e' perfino lamentato del link, che mi sembra umanissimo, e del fatto che sia in inglese.)

Allora ripropongo la dimostrazione (che preferisco, dato che non fa uso dell'induzione), essendo meno stringato.
Lemma: Siano $a_1,...,a_n$ e $b_1,...b_n$ due sequenze di numeri reali positivi e sia $c_1,...,c_n$ una permutazione di $b_1,...,b_n$. Allora la somma $S=a_1b_1+...+a_nb_n$ e' minimale tra le $n!$ somme $a_1c_1+...+a_nc_n$ se $a_i$ e $b_i$ sono una crescente e l'altra decrescente.
dim. Sia $a_r>a_s$. Consideriamo le somme
$S=a_1c_1+...+a_rc_r+...+a_s c_s+...+a_nc_n$
$S'=a_1c_1+...+a_rc_s+...+a_s c_r+...+a_nc_n$.
Cioe' otteniamo $S'$ da $S$ scambiando le posizioni di $c_r$ e $c_s$. Allora $S'-S=a_r c_s+a_s c_r-a_r c_r-a_s c_s=(a_r-a_s)(c_s-c_r)$. Quindi $c_rc_s$.

Ora si supponga $x_i>0, c=root[n](x_1\cdots x_n), a_1=x_1/c, ..., a_n=(x_1\cdots x_n)/(c^n)=1, b_1=1/a_1,...., b_n=1/a_n=1$. Siccome $a_i$ e $b_i$ sono una crescente e l'altra decrescente, si ha per il lemma che $a_1b_1+...+a_nb_n\le a_1b_n+a_2b_1+...+a_nb_{n-1}$ (la parte sinistra è minimale) e $n\le x_1/c+x_2/c+...+x_n/c \implies root[n](x_1\cdots x_n)\le (x_1+...+x_n)/n$.

[angus89]

...mmm...
non mi sono lamentato del link...anzi la tua risposta è stata probabilmente la migliore...
Però mi sarebbe piaciuta qualche dimostrazione scritta(come succede ora) da qualche utente...
Ecco tutto...
E per questo ti ringrazio...

Per quanto riguarda Fioravante...no comment (è meglio)

[TomSawyer1]

Invece Fioravante Patrone fa benissimo a spronarti in quel modo, perché appunto sei un "giovine imberbe" (diciamo così) .