Altro problema di massimo e minimo
$y=(x^2)/(x^2+ax+1)$ per quali valori di a la funzione
1)ammette un massimo e un minimo relativi (a diverso da 0 e diverso da $+-2$)
2)ammette un solo punto di minimo (a=0 e a =$+-2$)
ho calcolato la derivata:
$(ax^2+2x)/(x^2+ax+1)^2$. la pongo =0 e mi trovo x=0 e x=-2/a.
e poi?come si procede?
grazie mille in anticipo
1)ammette un massimo e un minimo relativi (a diverso da 0 e diverso da $+-2$)
2)ammette un solo punto di minimo (a=0 e a =$+-2$)
ho calcolato la derivata:
$(ax^2+2x)/(x^2+ax+1)^2$. la pongo =0 e mi trovo x=0 e x=-2/a.
e poi?come si procede?
grazie mille in anticipo
Risposte
Sono di fretta, quindi ti delineo una rapida soluzione.
Hai correttamente determinato la derivata prima della funzione: hai trovato i punti in cui si annulla (da cui deduci subito $a!=0$, poichè $a$ sta al denominatore della seconda radice da te scritta), ma questo non basta. Devi risolvere la disequazione $f'(x)>=0$, per studiare il segno di $f'(x)$ e quindi la crescenza/decrescenza di $f(x)$. Di più, senza fare i conti, non posso dire.
EDIT: fa' attenzione al parametro $a$ durante la discussione.
Hai correttamente determinato la derivata prima della funzione: hai trovato i punti in cui si annulla (da cui deduci subito $a!=0$, poichè $a$ sta al denominatore della seconda radice da te scritta), ma questo non basta. Devi risolvere la disequazione $f'(x)>=0$, per studiare il segno di $f'(x)$ e quindi la crescenza/decrescenza di $f(x)$. Di più, senza fare i conti, non posso dire.
EDIT: fa' attenzione al parametro $a$ durante la discussione.
Prima di tutto devi calcolare il dominio, è da questo che ottieni i valori $a=+-2$
$y=x^2/(x^2+ax+1)$
La derivata è
$[2x(x^2+ax+1)-(2x+a)(x^2)]/(x^2+ax+1)^2$ =
$ [2x^3+2ax+2-2x^3-ax^2]/(x^2+ax+1)^2$ =
$(-ax^2+2ax+2)/(x^2+ax+1)^2$
e quindi basta discutere il delta del numeratore per trovare le soluzioni.
La derivata è
$[2x(x^2+ax+1)-(2x+a)(x^2)]/(x^2+ax+1)^2$ =
$ [2x^3+2ax+2-2x^3-ax^2]/(x^2+ax+1)^2$ =
$(-ax^2+2ax+2)/(x^2+ax+1)^2$
e quindi basta discutere il delta del numeratore per trovare le soluzioni.
Occhio ai calcoli hai dimenticato qualche esponente... in definitiva non ho ancora capito bene come si faccia.
"kekko89":
$y=x^2/(x^2+ax+1)$
La derivata è
$[2x(x^2+ax+1)-(2x+a)(x^2)]/(x^2+ax+1)^2$ =
$ [2x^3+2ax+2-2x^3-ax^2]/(x^2+ax+1)^2$ =
$(-ax^2+2ax+2)/(x^2+ax+1)^2$
e quindi basta discutere il delta del numeratore per trovare le soluzioni.
C'è un errore:
$ [2x^3+2ax^2+2x-2x^3-ax^2]/(x^2+ax+1)^2$ =
$(ax^2+2x)/(x^2+ax+1)^2$
e quindi la derivata di sweet swallow è corretta.
$ f'(x) =(ax^2+2x)/(x^2+ax+1)^2$
Se $a=2$ la derivata diventa $ f'(x) =(2x^2+2x)/(x^2+2x+1)^2=(2x(x+1))/(x+1)^4=(2x)/(x+1)^3$
Se $a=-2$ la derivata diventa $ f'(x) =(-2x^2+2x)/(x^2-2x+1)^2=(-2x(x-1))/(x-1)^4=(-2x)/(x-1)^3$
Se $a=0$ la derivata diventa $ f'(x) =(2x)/(x^2+1)^2$
In ciascuno di questi casi la derivata ha il numeratore di primo grado
Se $a=2$ la derivata diventa $ f'(x) =(2x^2+2x)/(x^2+2x+1)^2=(2x(x+1))/(x+1)^4=(2x)/(x+1)^3$
Se $a=-2$ la derivata diventa $ f'(x) =(-2x^2+2x)/(x^2-2x+1)^2=(-2x(x-1))/(x-1)^4=(-2x)/(x-1)^3$
Se $a=0$ la derivata diventa $ f'(x) =(2x)/(x^2+1)^2$
In ciascuno di questi casi la derivata ha il numeratore di primo grado
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