Altro esercizio di trigonometria

[sussolini1]

traccia: Nel triangolo rettangolo isoscele ABC i cateti AB e AC misurano a. Preso sul lato AB il punto D, tale che sen ACD = $3/5$, determina sul segmento CD un punto P in modo che sia verificata la relazione $CP^2 + AP^2 + PB^2 = 31/20a^2$. Calcola la misura di CP. Deve uscire $a/2$ oppure $29/30a$

Questa è la figura che ho fatto:

mi sono calcolato CD che mi esce $5/4a$

non so minimamente come proseguire, aiuto??

[@melia]

Per proseguire devi prima di tutto scegliere un'incognita, a me piace pensare $CP=x$, e poi applicare il teorema del coseno ai triangoli APC e CPB. L'angolo $hat(PCB)$ vale $pi/4-hat(ACP)$ e
$cos(pi/4-hat(ACP))=cos (pi/4) cos hat(ACP)+sin (pi/4) sin hat(ACP)=7/10 sqrt2$

[sussolini1]

come hai fatto a ricavarti che l'angolo PCB vale 45°-ACP?

e ACP vale $3/5$, giusto? Perchè a me è uscito $4/5sqrt(2)$, diverso dal tuo $7/10sqrt(2)$

[@melia]

In un triangolo rettangolo isoscele gli angoli acuti misurano, entrambi, $pi/4$, quindi $hat(PCB)=hat(ACB)-hat(ACP) = pi/4-hat(ACP) $
$cos hat(ACP)= 4/5$ e $sin hat(ACP) =3/5$

$cos(pi/4-hat(ACP))=cos (pi/4) cos hat(ACP)+sin (pi/4) sin hat(ACP)=$
$=sqrt2/2*4/5+sqrt2/2*3/5=sqrt2/2*(4/5+3/5)=7/10 sqrt2$

[sussolini1]

ah, ma mi sa proprio che questo esercizio non riuscirò mai a farlo...ci sono espressioni con x, a, il lato da trovare; e non so in cosa risolvere, quindi mi sa che lascerò stare hahahah, non voglio farvi perdere tempo

[@melia]

Ma dai, viene un’equazione di secondo grado.

[sussolini1]

mi esce $AP=sqrt(a^2+x^2-8/5ax)$, non so cosa devo fare con quella x e con quella a

[@melia]

A te non serve AP, ti serve $AP^2$

[sussolini1]

ah vero ahahah

non so comunque cosa fare con quella equazione

nel senso... se trovo x ponendo quell'equazione (senza radice) = 0, in realtà non so cosa mi sono trovato: se mi sono effettivamente trovato $AP^2$

mi blocco sempre in punti simili anche in altri esercizi

[@melia]

Devi impostare questa equazione $ CP^2 + AP^2 + PB^2 = 31/20a^2 $

Posto $CP=x$

$AP^2$ lo hai già calcolato correttamente $AP^2=a^2+x^2 -8/5ax$

$PB^2=CP^2+CB^2-2CP*CB*cos(pi/4 - hat(ACP))=x^2+(asqrt2)^2-2*x*asqrt2*7/10 sqrt2=$
$=x^2+2a^2-14/5 ax$

L'equazione diventa $x^2+a^2+x^2 -8/5ax+x^2+2a^2-14/5 ax =31/20a^2$

$3x^2-22/5 ax+29/20a^2=0$ moltiplico tutto per 20, perché non mi piace applicare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado con le frazioni

$60x^2-88ax+29a^2=0$, risolvendo l'equazione di secondo grado ottengo

$x_1=a/2$ e $x_2=29/30 a$

[sussolini1]

ahhh, quindi non andava risolto quell'$AP^2$
grazie, gentilissima e scusa per le perdite di tempo