Altra dimostrazione di fisica
Ecco un'altro problema di fisica che mi ha dato qualche problema!
Per alleggerire il traffico fra due grandi città come Boston e Washington si è pensato di costruire una galleria ferroviaria lungo la corda (geometrica) che collega le due città. Un treno, senza bisogno di motori, partendo da fermo, precipiterebbe giù per la prima metà della galleria per poi risalire fino alla superficie nella seconda metà. Supponendo che la terra sia una sfera omogenea, e ignorando gli attriti e la resistenza dell'aria, dimostrare che il viaggio fra le due città rappresenta mezzo ciclo di moto armonico e calcolare la durata del viaggio.
Per alleggerire il traffico fra due grandi città come Boston e Washington si è pensato di costruire una galleria ferroviaria lungo la corda (geometrica) che collega le due città. Un treno, senza bisogno di motori, partendo da fermo, precipiterebbe giù per la prima metà della galleria per poi risalire fino alla superficie nella seconda metà. Supponendo che la terra sia una sfera omogenea, e ignorando gli attriti e la resistenza dell'aria, dimostrare che il viaggio fra le due città rappresenta mezzo ciclo di moto armonico e calcolare la durata del viaggio.
Risposte
non ho capito bene
Mah a me questo sembra abbastanza complesso, anche se si puo facilmente notare che la forza di attrazione gravitazionale aumenta man mano che il treno si avvicina al punto medio della corda, dove appunto la distanza dal centro di massa risulta minima. Si vede che la forza è proporzionale alla distanza dalla superficie terrestre, ma non saprei, lameno in questo momento, formalizzare matematicamente.
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Dimostrare che si tratta di mezzo ciclo di moto armonico non è un problema, basta formalizzare in termini matematici quello che hai detto tu precedentemente. Ciò che non riesco proprio a capire è come sia possibile dedurre il tempo di percorrenza senza nessun dato riguardante le coordinate geografiche delle due città, perchè è ovvio che il tempo di percorrenza dipende dalla lunghezza della corda geometrica, e quindi dalla posizione delle due città. Ho tentato anche con il calcolo integrale ma date le mie scarse conoscienze sull'argomento (ho frequentato la quarta liceo e so solo qualcosa approssimativamente) non ho ottenuto niente. Comunque questo problema mi interessa quindi se qualcuno trovasse qualcosa che ritiene possa essere utile alla risoluzione del problema x fav. me lo faccia sapere.
Perchè non scrivi con mathtype la tua dimostrazione? intanto penserò al tempo.
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Probabilmente il tempo non dipende dalla distanza delle due città, dato che più che la distanza aumenta, piu che la corda risulta vicina al centro di massa e quindi sul treno agirà una forza maggiore, che determinerà una maggiore accelerazione e velocità massima, al contrario se le due ciità fossero più vicine, la forza sarebbe minore e quindi l'accelerazione minore. In un certo senso sembrerebbe apparentemente che quindi il tempo di percorrenza sia indipendente dalla distanza...
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
quote:
Originally posted by cavallipurosangue
..... si puo facilmente notare che la forza di attrazione gravitazionale aumenta man mano che il treno si avvicina al punto medio della corda, dove appunto la distanza dal centro di massa risulta minima. Si vede che la forza è proporzionale alla distanza dalla superficie terrestre ....
Attenzione. La forza gravitazionale all'interno di una sfera omogenea è direttamente proporzionale alla distanza dal centro.
Questo perchè la forza esercitata da uno strato sferico su di una particella posta al suo interno è nulla!
Non capisco cosa vuoi dire MaMo
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
La forza gravitazionale su di una massa m posta a distanza x dal centro della Terra è:
F = GmM/x^2
dove M è la massa della sfera di raggio x. Perciò si ha:
F = Gm(4*pi*ro*x^3/3)/x^2 = 4*pi*Gm*ro*x/3
F = GmM/x^2
dove M è la massa della sfera di raggio x. Perciò si ha:
F = Gm(4*pi*ro*x^3/3)/x^2 = 4*pi*Gm*ro*x/3
Ma se si considera la massa della terra tutta concentrata in un punto quello che dici tu perde di significato e si puo applicare la legge di gravitazione universale senza problemi, no?
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
No! In questo caso non puoi ragionare così perchè la sola massa che agisce sulla particella è quella interna mentre la forza esercitata dallo strato esterno è nulla.
Ah è vero.. Hai ragione..
Ma allora tu come risolveresti il problema?
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Ma allora tu come risolveresti il problema?
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Indichiamo con r la distanza del treno dal centro della Terra e con x la sua distanza dal punto medio del tunnel. La componente della forza lungo x è:
Fx = F*x/r = -(4*pi*ro*Gm*r/3)*x/r = -(4*pi*ro*Gm/3)*x = -kx
Questa è l'equazione del moto armonico semplice di periodo:
T = 2*pi*sqrt(m/k) = sqrt(3*pi/G*ro) = 84,2 minuti.
Fx = F*x/r = -(4*pi*ro*Gm*r/3)*x/r = -(4*pi*ro*Gm/3)*x = -kx
Questa è l'equazione del moto armonico semplice di periodo:
T = 2*pi*sqrt(m/k) = sqrt(3*pi/G*ro) = 84,2 minuti.
Scusate per il ritardo ma ho potuto rispondere solo ora. MaMo il tuo risultato è corretto, ho verificato sul libro. Solo una domanda: qual è il valore medio della densità terrestre?
Ho capito tutto, a parte il perchè all'inizio scrivi Fx=Fx/r..
Mi potresti spiegare da che cosa hai dedotto la relazione?
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Mi potresti spiegare da che cosa hai dedotto la relazione?
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Mi permetto di rispondere al posto di MaMo:
x/r = cos(alfa), quindi Fx/r è la componente della forza gravitazionale parallela al percorso del treno che funge da forza di richiamo.
x/r = cos(alfa), quindi Fx/r è la componente della forza gravitazionale parallela al percorso del treno che funge da forza di richiamo.
Ah ecco, infatti mi sembrava strano.. Allora Fx al primo membro sta per la forza lungo l'asse x e non per F*x, sennò il tutto non avrebbe senso..Era questo quello che non capivo.. Cmq come fai a postare i disegni?
Mi interesserebbe anche a me poterlo fare.. [8D]
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Mi interesserebbe anche a me poterlo fare.. [8D]
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Basta che fai il disegno con Paint, lo salvi in formato gif e poi...va be, poi lo sai meglio di me, me l'hai spiegato tu l'altra volta.
A proposito Cavallipurosangue come sono andati gli esami alla Sant'Anna, sai io ho fatto a luglio la scuola estiva di orientamento organizzata dalla Sant'anna a Volterra e quindi il prossimo anno vorrei provare per ingegneria aerospaziale... fammi sapere.
A proposito Cavallipurosangue come sono andati gli esami alla Sant'Anna, sai io ho fatto a luglio la scuola estiva di orientamento organizzata dalla Sant'anna a Volterra e quindi il prossimo anno vorrei provare per ingegneria aerospaziale... fammi sapere.
Il test sarà il giorno 12 settembre per matematica, 13 settembre per fisica. Ma la vedo dura.. Fisica se ho fortuna la posso un pò fare, mentre ho molta paura per matematica.. Andrei comunque a fare ing meccanica, anzi ho già il libretto, quindi quello è sicuro..
Grazie dell'informazione [:)]
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Grazie dell'informazione [:)]
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Questo problema è analogo a quello che avevo postato io su "Base Cinque" e che si trova alla terza pagina di http://www.base5forum.broadphase.com/vi ... &start=100 col nome «Metodo di trasporto rapido ed economico».
Quanto detto da MaMo è corretto, ma si deve supporre la terra sferica (nessun problema), con densità costante (ahi ahi ahi ...) (se invece la densità è crescente (non decrescente ...) con la profondità allora il tempo risultante è minore) e che il buco passi attraverso i poli o che la Terra non ruoti su sé stessa (altrimenti il tempopuò variare, sicuramente in più, ma non so se anche in meno).
Quanto detto da MaMo è corretto, ma si deve supporre la terra sferica (nessun problema), con densità costante (ahi ahi ahi ...) (se invece la densità è crescente (non decrescente ...) con la profondità allora il tempo risultante è minore) e che il buco passi attraverso i poli o che la Terra non ruoti su sé stessa (altrimenti il tempopuò variare, sicuramente in più, ma non so se anche in meno).
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