Algoritmo

[chiaraparisi]

salve, oggi comincio un nuovo argomento, algortimi ed esponenziali.
So che l'algoritmo equivale a un'equazione esp.
non capisco come risolverli:
2^x=1
5^x=1/25
4^x=8

[carlogiannini]

Se due numeri sono uguali, saranno uguali anche i loro logaritmi, qualunque sia la base di entrambi i logaritmi.
Per la prima

[math]2^{x}=1\\\log_22^{x}=\log_21\\x\log_22=\log_21[/math]

.
.
ricordando che

[math]\log_nn=1\\\log_n1=0[/math]

.
.
ricavi
x = 0
In questo caso era facile rispondere anche senza ricorrere ai logaritmi perché

[math]a^{0}=1[/math]

.
per ogni

[math]a\neq0[/math]

.
----------------

[math]5^{x}=\frac{1}{25}\\\log_55^{x}=\log_5\frac{1}{25}\\x\log_55=-\log_525\\x=-2[/math]

.
.

[math]4^{x}=8\\(2^2)^{x}=2^3\\2^{2x}=2^3\\\log_22^{2x}=\log_22^3\\2x\log_22=3\\2x=3\\x=\frac{3}{2}[/math]

[chiaraparisi]

sei stato bravissimo, ma perchè nel primo caso viene 1? nei casi di 1 iene sempre 0?

[carlogiannini]

Il logaritmo di 1 è sempre 0, perché l'esponente da dare a QUALUNQUE numero per avere come risultato "1" è sempre e solo "0"
il logaritmo di "n" (argomento) in base "n" (base) è sempre "1" perché "n" elevato alla "1" fa "n".
Per capirci la base la scriviamo minuscola "n" e l'argomento lo scriviamo maiuscolo "N" ( ma intendiamo lo stesso numero,cioè n=N)

[math]\log_nN=1\\perchè\\n^1=N[/math]

[chiaraparisi]

ora ho capito, allora log2^1=0
nel caso di 4^x=8

[carlogiannini]

[math]\log_22=1\\perchè\\(base\ 2)^1=2\\--------\\log_21=0\\perchè\\2^0=1[/math]

[chiaraparisi]

ora ho capito, grazie. Nel caso 4^x=8?

[carlogiannini]

Facendo semplicemente

[math]\log_44^{x}=\log_48[/math]

.
"Miglioriamo" a sinistra ma non risolviamo niente a destra.
Allora, siccome

[math]4=2^2\\e\\8=2^3[/math]

.
conviene provare con

[math]\log_2[/math]

.
quindi:

[math]4^{x}=8\\\log_24^{x}=\log_28\\\log_2(2^2)^{x}=\log_22^3\\\log_22^{2x}=\log_22^3\\2x\bullet \log_22=3•\log_22\\2x•1=3•1\\x=\frac{3}{2}[/math]

[chiaraparisi]

3/2 viene dal 2^3=8

[carlogiannini]

No, o Almeno non direttamente:
viene dal penultimo passaggio
2x = 3

[chiaraparisi]

si, indirettamente.gentilissimo