[ALGEBRA] scomposizione mediante prodotti notevoli
Differenza di due quadrati
ordunque,sto affrontando questo nuovo tipo di divisione ...spero che poi mi rimanga qualcosa,con la fatica che sto facendo...
in questo tipo di scomposizione sono arrivato a capire questo tipo di espressioni:
es:
$ 9x^2-4y^2$
$(3x)^2-(2y)^2 $
$(3x+2y)(3x-2y)$
e fin qui ci sono
le espressioni di questo tipo invece:
$ (a-2b)^2 - 9b^2$ non capisco come funzionano
questo e' un esercizio risolto ma di cui non capisco i passagggi che ti mostro:
$(a-2b+3b)(a-2b-3b)$ = $(a+b)(a-5b)$
questa e' dello stesso tipo ed e' un esercizio da svolgere
$(a-b)^2-b^2$ che io farei $(a^2-2ab+b^2)-b^2$ $a(a-2b+b^2)-b^2$ che dovrebbe venire $a(a-2b)$ e non so se posso semplificare i due $b^2$ che non fan parte dello stesso monomio
poi quelle come questa faccio cosi':
$12a^3y^2-27a^3x^2$
$ 3a^3(4y^2-9x^2)$
$3a^3(2y-3x)(2y+3x)$ e mi viene giusta...non so' se faccio tutti i passaggi come van fatti ma il risultato e' giusto
qui alto mare
$b+2-a^2b-2a^2$
qui pure
$4x^2-y^2+2xz-yz$
qui invece sono in mezzo all'oceano atlantico
3(a^2b^2-x^2)+6c(ab+x)$
e queste fatte cosi' pure
$(x+y)^2-(z+t)^2$
ordunque,sto affrontando questo nuovo tipo di divisione ...spero che poi mi rimanga qualcosa,con la fatica che sto facendo...
in questo tipo di scomposizione sono arrivato a capire questo tipo di espressioni:
es:
$ 9x^2-4y^2$
$(3x)^2-(2y)^2 $
$(3x+2y)(3x-2y)$
e fin qui ci sono
le espressioni di questo tipo invece:
$ (a-2b)^2 - 9b^2$ non capisco come funzionano
questo e' un esercizio risolto ma di cui non capisco i passagggi che ti mostro:
$(a-2b+3b)(a-2b-3b)$ = $(a+b)(a-5b)$
questa e' dello stesso tipo ed e' un esercizio da svolgere
$(a-b)^2-b^2$ che io farei $(a^2-2ab+b^2)-b^2$ $a(a-2b+b^2)-b^2$ che dovrebbe venire $a(a-2b)$ e non so se posso semplificare i due $b^2$ che non fan parte dello stesso monomio
poi quelle come questa faccio cosi':
$12a^3y^2-27a^3x^2$
$ 3a^3(4y^2-9x^2)$
$3a^3(2y-3x)(2y+3x)$ e mi viene giusta...non so' se faccio tutti i passaggi come van fatti ma il risultato e' giusto
qui alto mare
$b+2-a^2b-2a^2$
qui pure
$4x^2-y^2+2xz-yz$
qui invece sono in mezzo all'oceano atlantico
3(a^2b^2-x^2)+6c(ab+x)$
e queste fatte cosi' pure
$(x+y)^2-(z+t)^2$
Risposte
Quando ti è dato il prodotto notevole $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$, $x$ e $y$ rappresentano due qualsiasi oggetti (numeri, monomi, binomi, polinomi, ...)
Per esempio se vuoi scomporre $(a-2b)^2-9b^2$ devi semplicemente applicare la regola dove ora al posto di $x$ c'è $a-2b$ e al posto di $y$ c'è $3b$.
Si ottiene
$[(a-2b)+3b][(a-2b)-3b]=(a-2b+3b)(a-2b-3b)=....$
In modo analogo puoi risolvere per esempio $(x+z)^2-(z+t)^2$ e $(a-b)^2-b^2$.
Comunque evita il titolo del tuo post tutto in maiuscolo come da regolamento del forum! Modificalo!
Per esempio se vuoi scomporre $(a-2b)^2-9b^2$ devi semplicemente applicare la regola dove ora al posto di $x$ c'è $a-2b$ e al posto di $y$ c'è $3b$.
Si ottiene
$[(a-2b)+3b][(a-2b)-3b]=(a-2b+3b)(a-2b-3b)=....$
In modo analogo puoi risolvere per esempio $(x+z)^2-(z+t)^2$ e $(a-b)^2-b^2$.
Comunque evita il titolo del tuo post tutto in maiuscolo come da regolamento del forum! Modificalo!
"cirasa":
Quando ti è dato il prodotto notevole $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$, $x$ e $y$ rappresentano due qualsiasi oggetti (numeri, monomi, binomi, polinomi, ...)
Per esempio se vuoi scomporre $(a-2b)^2-9b^2$ devi semplicemente applicare la regola dove ora al posto di $x$ c'è $a-2b$ e al posto di $y$ c'è $3b$.
Si ottiene
$[(a-2b)+3b][(a-2b)-3b]=
(a-2b+3b)(a-2b-3b)=....$
questo passaggio non lo capisco
quello dopo poi ? come dovrebbe essere?
In modo analogo puoi risolvere per esempio $(x+z)^2-(z+t)^2$ e $(a-b)^2-b^2$.
Comunque evita il titolo del tuo post tutto in maiuscolo come da regolamento del forum! Modificalo!
se posso modificare il titolo provvedo subito
Il prodotto notevole è
$x^2-y^2=[x-y][x+y]$
(Ho messo la parentesi quadre al posto delle tonde, il significato è lo stesso.)
Al posto di $x$ metti $(a-2b)$ e al posto di $y$ metti $(3b)$. Ottieni:
$(a-2b)^2-(3b)^2=[(a-2b)-3b][(a-2b)+3b]$
Il primo membro è $(a-2b)^2-9b^2$.
Quindi
$(a-2b)^2-9b^2=[(a-2b)-3b][(a-2b)+3b]=[a-2b-3b][a-2b+3b]$
Poi devi fare solo le somme fra monomi all'interno della parentesi quadre.
$x^2-y^2=[x-y][x+y]$
(Ho messo la parentesi quadre al posto delle tonde, il significato è lo stesso.)
Al posto di $x$ metti $(a-2b)$ e al posto di $y$ metti $(3b)$. Ottieni:
$(a-2b)^2-(3b)^2=[(a-2b)-3b][(a-2b)+3b]$
Il primo membro è $(a-2b)^2-9b^2$.
Quindi
$(a-2b)^2-9b^2=[(a-2b)-3b][(a-2b)+3b]=[a-2b-3b][a-2b+3b]$
Poi devi fare solo le somme fra monomi all'interno della parentesi quadre.
quella l ho capita 
quelle fatte cosi' invece?
$3(a^2b^2-x^2)+6c(ab+x)$
quelle fatte cosi' invece?
$3(a^2b^2-x^2)+6c(ab+x)$
Ci sono due addendi: il primo, a parte il $3$, è differenza di due quadrati, quindi si scompone come....(continua tu)
Poi puoi raccogliere qualcosa...
Prova e posta i tuoi passaggi.
Poi puoi raccogliere qualcosa...
Prova e posta i tuoi passaggi.
"HeadTrip":
quella l ho capita
quelle fatte cosi' invece?
$3(a^2b^2-x^2)+6c(ab+x)$
$3[(ab+x)(ab-x)]+6c(ab+x)$
$(ab+x)(1-1)+3c( $ mi sembra che non va' cosi'...
ci sono anche quelle cosi':
$9a^2-4b^2+3ac+2bc$
$ [3a+2b)(3a-2b)] +3ac+2bc $
$(3a+2b)(1-1 ...$ anche qui non so come continuare
$3[(ab+x)(ab-x)]+6c(ab+x)=$
$\ \ =3(ab+x)(ab-x)+6c(ab+x)$
Fin qui ci siamo? Ora devi raccogliere a fattor comune $(ab+x)$ e hai finito.
L'altra è molto simile. Il procedimento è lo stesso. I primi due addendi formano un prodotto notevole e poi c'è da raccogliere...
$\ \ =3(ab+x)(ab-x)+6c(ab+x)$
Fin qui ci siamo? Ora devi raccogliere a fattor comune $(ab+x)$ e hai finito.
L'altra è molto simile. Il procedimento è lo stesso. I primi due addendi formano un prodotto notevole e poi c'è da raccogliere...
"cirasa":
$3[(ab+x)(ab-x)]+6c(ab+x)=$
$\ \ =3(ab+x)(ab-x)+6c(ab+x)$
Fin qui ci siamo? Ora devi raccogliere a fattor comune $(ab+x)$ e hai finito.
L'altra è molto simile. Il procedimento è lo stesso. I primi due addendi formano un prodotto notevole e poi c'è da raccogliere...
ok forse ci sono...raccogliendo a fattore comune $3(ab+x)$ si ha: $ 3(ab+x)(ab-x+2c)$ mi confondeva l' $ab-x$ che in pratica rimane tale quale
ora vado avanti con l altra
non ci sono...
quella l ho fatta ,ma questa di nuovo son fermo
$b(a-b)+2(b^2-a^2)$
$b(a-b)+2[(b-a)(b+a)]$ e fin qui ci sono
poi raccolgo $b-a$ ma mi viene un casino
$b(a-b)+2(b-a)-1$
$b(a-b)+2(b-a-1)$
poi $b$
$b(a-b)+2-a-1$
non ci sono per niente
quella l ho fatta ,ma questa di nuovo son fermo
$b(a-b)+2(b^2-a^2)$
$b(a-b)+2[(b-a)(b+a)]$ e fin qui ci sono
poi raccolgo $b-a$ ma mi viene un casino
$b(a-b)+2(b-a)-1$
$b(a-b)+2(b-a-1)$
poi $b$
$b(a-b)+2-a-1$
non ci sono per niente
questa invece:
$4x^2-y^2+2xz-yz$
$(2x-y)(2x-y+z-z)$
$(2x-y)(2x+y-z+z)$
$(2x-y)(2x+y)$ ed effettivamente e' sbagliata...il risultato dovrebbe essere $(2x-y)2x+y+z)$
dove sbaglio?
$4x^2-y^2+2xz-yz$
$(2x-y)(2x-y+z-z)$
$(2x-y)(2x+y-z+z)$
$(2x-y)(2x+y)$ ed effettivamente e' sbagliata...il risultato dovrebbe essere $(2x-y)2x+y+z)$
dove sbaglio?
ed anche questa e' sbagliata
$b+2-a^2b-2a^2$
$b+2-a^2(b-2)$
$(b-2)(b+2-a^2)$
e dovrebbe venire: $(2+b)(1+a)(1-a)$
$b+2-a^2b-2a^2$
$b+2-a^2(b-2)$
$(b-2)(b+2-a^2)$
e dovrebbe venire: $(2+b)(1+a)(1-a)$
questa la faccio cosi' invece...
$9a^2-4b^2+3ac+2bc$
$(3a-2b)(3a+2b)+3ac+2bc$
$(3a+2b)(3a-2b+2c)$ e c'e' un $c$ di troppo perche' dovrebbe venire: $(3a+2b)(3a-2b+c)$
ma son cosi' difficili ste cose?
$9a^2-4b^2+3ac+2bc$
$(3a-2b)(3a+2b)+3ac+2bc$
$(3a+2b)(3a-2b+2c)$ e c'e' un $c$ di troppo perche' dovrebbe venire: $(3a+2b)(3a-2b+c)$
ma son cosi' difficili ste cose?
Allora, calma calma, andiamo con ordine.
Partiamo con la prima: (Ti consiglio di fare i passaggi molto molto lentamente)
ok, giusto
e qui non ci siamo (ti eri accorto anche tu che stavi facendo un casino). Calma e sangue freddo, raccogli $b-a$, ma fallo per bene!
Il passaggio giusto è il seguente
$(b-a)[-b+2(b+a)]$
Ora faccio i conti all'interno della quadra
$(b-a)[-b+2b+2a]$
$(b-a)(b+2a)$
Fine.
Partiamo con la prima: (Ti consiglio di fare i passaggi molto molto lentamente)
"HeadTrip":
$b(a-b)+2(b^2-a^2)$
$b(a-b)+2[(b-a)(b+a)]$ e fin qui ci sono
ok, giusto
"HeadTrip":
poi raccolgo $b-a$
$b(a-b)+2(b-a)-1$
e qui non ci siamo (ti eri accorto anche tu che stavi facendo un casino). Calma e sangue freddo, raccogli $b-a$, ma fallo per bene!
Il passaggio giusto è il seguente
$(b-a)[-b+2(b+a)]$
Ora faccio i conti all'interno della quadra
$(b-a)[-b+2b+2a]$
$(b-a)(b+2a)$
Fine.
Ho dato uno sguardo alle altre, gli errori sono ricorrenti. Più o meno sai quello che vuoi fare ma non lo fai per bene.
Ti consiglio di rivederle tutte con estrema calma e pazienza un passaggio per volta. Ogni volta che fai un passaggio scrivici cosa hai intenzione di fare.
Attenzione ai raccoglimenti a fattor comune.
Ti consiglio di rivederle tutte con estrema calma e pazienza un passaggio per volta. Ogni volta che fai un passaggio scrivici cosa hai intenzione di fare.
Attenzione ai raccoglimenti a fattor comune.
"cirasa":
Allora, calma calma, andiamo con ordine.
Partiamo con la prima: (Ti consiglio di fare i passaggi molto molto lentamente)
[quote="HeadTrip"]
$b(a-b)+2(b^2-a^2)$
$b(a-b)+2[(b-a)(b+a)]$ e fin qui ci sono
ok, giusto
"HeadTrip":
poi raccolgo $b-a$
$b(a-b)+2(b-a)-1$
e qui non ci siamo (ti eri accorto anche tu che stavi facendo un casino). Calma e sangue freddo, raccogli $b-a$, ma fallo per bene!
Il passaggio giusto è il seguente
ecco ed infatti non l ho capito questo passaggio
$(b-a)[-b+2(b+a)]$
dunque: avevamo $b(a-b)+2[(b-a)(b+a)]$
racccolgo $b-a$ quindi metto b-a davanti $(b-a)[ $ ed apro la parentesi quadra
quel $-b$ che c'e' subito dopo la parentesi quadra e' uscito come?
dunque io so che per esempio un espressione tipo $(b-a)$ puo' essere cambiata con un'espressione equivalente in questo modo $ -(a-b)$ correggimi se sbaglio; perche' in pratica si cambia l'ordine degli addendi all interno e l'espressione dovrebbe essere identica: se noi mettiamo dei numeri al posto delle lettere per es: $ (3-7) $ e cambiamo l ordine avremo $ -(7-3) $ che come risultato darebbe sempre $ -4 $ giusto?
ora tornando all'espressione come avevamo sopra $b(a-b)+2[(b-a)(b+a)]$ che dovrebbe diventare $b-(b+a)+2[(b-a)(b+a)]$ ora dovrei raccogliere $(b+a)$
tu raccogli $(b-a) $ perche' invece di cambiare l ordine di $(a-b)$ hai cambiato il segno davanti alla moltiplicazione immagino in questo modo
da qui $b(a-b)+2[(b-a)(b+a)]$
$-b(a-b)+2[(b-a)(b+a)]$
pero' adesso se raccolgo $ (b-a)$ mi reincasino
questa regola dello girare gli addendi che mi incasina....anche quando hai davanti qualche prodotto da fare li devi girare?
[/quote]
Ora faccio i conti all'interno della quadra
$(b-a)[-b+2b+2a]$
$(b-a)(b+2a)$
Fine.
"HeadTrip":
dunque io so che per esempio un espressione tipo $(b-a)$ puo' essere cambiata con un'espressione equivalente in questo modo $ -(a-b)$ correggimi se sbaglio; perche' in pratica si cambia l'ordine degli addendi all interno e l'espressione dovrebbe essere identica:
Innanzitutto un piccolo appunto: si cambia il segno all'interno della parentesi e non l'ordine, mettendo un segno "meno" fuori dalla parentesi.
Torniamo a noi
$b(a-b)+2[(b-a)(b+a)]$
diventa (è come se stai raccogliendo a fattor comune $-1$)
$-b(b-a)+2(b-a)(b+a)$
(Fra parentesi: Attenzione! Questo è diverso da $b-(b-a)+2(b-a)(b+a)$ !)
Ora devi raccogliere $(b-a)$ a fattor comune
$(b-a)[...$
Dividi $-b(b-a)$ per $(b-a) ottenendo $-b$
$(b-a)[-b.....$
Dividi $2(b-a)(b+a)$ per $(b-a)$ ottenendo $2(b+a)$
$(b-a)[-b+2(b+a)]$
Poi concludi facendo la somma algebrica all'interno della quadra...
ecco appunto:
che fa:
$b(b-a)$ = $b^2-ab$
e
$-b(a-b)$ = $-ab+b^2$
che e' lo stesso che ho detto io prima....pero' questa regola non la conosco bene...mel ha insegnata leena qui sul forum la prima volta che l'ho vista
come si chiama? almeno mi documento....nel frattempo faccio le altre per vedere se ho capito
che fa:
$b(b-a)$ = $b^2-ab$
e
$-b(a-b)$ = $-ab+b^2$
che e' lo stesso che ho detto io prima....pero' questa regola non la conosco bene...mel ha insegnata leena qui sul forum la prima volta che l'ho vista
come si chiama? almeno mi documento....nel frattempo faccio le altre per vedere se ho capito
Non ha un nome o, se ce l'ha, io non lo conosco.
E' semplicemente un raccoglimento a fattor comune di $-1$.
$a-b$
Raccolgo a fattor comune $-1$
$-1(....$
Divido $a$ per $-1$ e ottengo $-a$
$-1(-a....$
Divido $-b$ per $-1$ e ottengo $b$
$-1(-a+b)$
che è uguale a
$-(b-a)$
Quindi $a-b=-(b-a)$
E' semplicemente un raccoglimento a fattor comune di $-1$.
$a-b$
Raccolgo a fattor comune $-1$
$-1(....$
Divido $a$ per $-1$ e ottengo $-a$
$-1(-a....$
Divido $-b$ per $-1$ e ottengo $b$
$-1(-a+b)$
che è uguale a
$-(b-a)$
Quindi $a-b=-(b-a)$
"HeadTrip":
questa invece:
$4x^2-y^2+2xz-yz$
$(2x-y)(2x-y+z-z)$
$(2x-y)(2x+y-z+z)$
$(2x-y)(2x+y)$ ed effettivamente e' sbagliata...il risultato dovrebbe essere $(2x-y)2x+y+z)$
dove sbaglio?
$4x^2-y^2+2xz-yz$
$(2x+y)(2x-y)(2xz-yz)$
$(2x+y)(2x-y)+z(2x-y)$
$(2x-y)(2x+y+z)$
e due
che figo quando mi riescono...adesso le altre
"HeadTrip":
ed anche questa e' sbagliata
$b+2-a^2b-2a^2$
$b+2-a^2(b-2)$
$(b-2)(b+2-a^2)$
e dovrebbe venire: $(2+b)(1+a)(1-a)$
sta qui mi ha fatto tribolare e l ho capita poco...comunque dovrebbe essere giusta lo stesso anche se il risultato non e' perfetto come quello del libro
$b+2-a^2b-2a^2$
$(b+2)-a^2(b+2)$
$(b+2)[(1+a)(1-a)]$
$(b+2)(1+a)(1-a)$
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