Algebra lineare (sistemi lineari ed endomorfismi)
salve vorrei kiedere a qlk anima pia se i possa risolvere la 4(a) e la 5(a) in maniera abbastanza kiara:
così da poter avere un esempio su cm risolverli.
Grazie in anticipo
così da poter avere un esempio su cm risolverli.
Grazie in anticipo
Risposte
allora proviamo. con la (a)
quindi
quindi poni il denominatore diverso da 0..e il sistema sarà possibile solo se
ok??penso sia così!!!
[math]\begin{cases} x-y+z=1 \\ kx+y-z=0 \\ x-y+kz=k \end{cases}[/math]
[math]\begin{cases} y=x+z-1 \\ kx+x+z-1=0 \\ x-x-z+1+kz-k=0 \end{cases}[/math]
[math]\begin{cases} y=x+z-1 \\ z=1-x(k+1) \\ -1+kx+x+k(1-kx-x)-k=0 \end{cases}[/math]
[math]\begin{cases}y=x+z-1 \\ z=1-kx-x \\ -1+kx+x+k-k^2x-kx-k=0\end{cases}[/math]
[math]\begin{cases}\frac{y}{-k}=x \\ z=1-kx-x \\ x(1-k^2)-1=0\end{cases}[/math]
quindi
[math]\frac{y}{-k}=\frac{1}{(1+k)(1-k)}[/math]
quindi poni il denominatore diverso da 0..e il sistema sarà possibile solo se
[math]k\ne\pm 1 [/math]
V [math]k\ne 0[/math]
ok??penso sia così!!!
il fatto è ke devo risolvere con le matrici e non per sotituzione.
grazie mille sei stata gentilissima e rapidissima, ma è algebra lineare e al liceo.per lo meno al mio nn sistudia.sto al'università è qst il fatto.
grazie mille sei stata gentilissima e rapidissima, ma è algebra lineare e al liceo.per lo meno al mio nn sistudia.sto al'università è qst il fatto.
so la teoria ma ho dificoltà ad applicarla
ok..io conoscevo solo le matrici con cramer..mi ritiro..scusate..ciao!!
del 4 non capisco.. il metodo di riduzione gaussiana non è difficile da applicare, poi per la matrice inversa (qualora sia invertibile: basta controllare che il determinante sia diverso da 0) usi il metodo della pluriaumentata, (da A|I ottieni I|A^-1 mediante operazioni elementari sulle righe).
ti faccio il primo punto del primo endomorfismo del 5, per gli altri 2 dovrei ripassarmi troppa teoria. ti occorre sapere la definizione di nucleo (quella di immagine è intuitiva). per indicare la funzione lineare uso L, sennò mi tocca usare latex.
(x+2y,-y,x+2z) = x(1,0,1) + y(2,-1,0) + z(0,0,2) = xv1 + yv2 + zv3
devi determinare una base per lo spazio generato dai tre vettori, ossia una famiglia di vettori che siano linearmente indipendenti e che generino Imm(L). basta semplicemente applicare la riduzione a scala per righe (non quella totale) alla matrice che ha per righe i vettori sopra: in questo modo ottieni una n-pla di vettori indipendenti. il fatto che siano generatori per l'insieme immagine è ovvio: v1, v2 e v3 sono combinazioni lineari dei vettori che ottieni dopo la riduzione (..dopo che ti avranno spiegato l'esercizio 4 potrai farlo).
per il nucleo basta che imponi
x(1,0,1) + y(2,-1,0) + z(0,0,2) = (0,0,0)
vedi per quali valori di x, y e z è soddisfatto (se noti, consiste nella risoluzione di un sistema).
"numero variabili - rango della matrice associata al sistema" ti dà la dimensione delle soluzioni e quindi quella di ker(L); in pratica basta che conti il numero di variabili libere che usi per esprimere le soluzioni.
per trovarne la base segui lo stesso procedimento usato per trovare quella dell'immagine
ti faccio il primo punto del primo endomorfismo del 5, per gli altri 2 dovrei ripassarmi troppa teoria. ti occorre sapere la definizione di nucleo (quella di immagine è intuitiva). per indicare la funzione lineare uso L, sennò mi tocca usare latex.
(x+2y,-y,x+2z) = x(1,0,1) + y(2,-1,0) + z(0,0,2) = xv1 + yv2 + zv3
devi determinare una base per lo spazio generato dai tre vettori, ossia una famiglia di vettori che siano linearmente indipendenti e che generino Imm(L). basta semplicemente applicare la riduzione a scala per righe (non quella totale) alla matrice che ha per righe i vettori sopra: in questo modo ottieni una n-pla di vettori indipendenti. il fatto che siano generatori per l'insieme immagine è ovvio: v1, v2 e v3 sono combinazioni lineari dei vettori che ottieni dopo la riduzione (..dopo che ti avranno spiegato l'esercizio 4 potrai farlo).
per il nucleo basta che imponi
x(1,0,1) + y(2,-1,0) + z(0,0,2) = (0,0,0)
vedi per quali valori di x, y e z è soddisfatto (se noti, consiste nella risoluzione di un sistema).
"numero variabili - rango della matrice associata al sistema" ti dà la dimensione delle soluzioni e quindi quella di ker(L); in pratica basta che conti il numero di variabili libere che usi per esprimere le soluzioni.
per trovarne la base segui lo stesso procedimento usato per trovare quella dell'immagine
Ti ho fatto il sistema a dell'esercizio 4, cosicchè tu possa vedere come si svolge questo tipo di esercizio. Se hai dubbi, basta chiedere ;)
Essendo un sistema di 3 equazioni in 3 incognite, consideriamo la matrice incompleta I e troviamone il determinante:
Se il determinante di I è diverso da 0, il sistema è determinato e ammette una e una sola soluzione.
Le soluzioni si ricavano risolvendo il sistema con il metodo di Cramer. Nella matrice I si sostiuiscono le colonne di x,y,z, si ricavano 3 determinanti diversi, i quali, divisi per il determinante di I inizialmente trovato, daranno i valori rispettivamente di x,y,z.
Sostituiamo alla colonna delle x il termine noto, ottenendo una matrice
Il valore di x è dato da:
Sostituiamo alla colonna delle y il termine noto, ottenendo una matrice
Sostituiamo alla colonna di z il termine noto, ottenendo una matrice
Se il determinante è uguale a 0, il sistema è indeterminato o impossibile, cioè ammette infinite soluzioni oppure non ne ammette nessuna.
Per stabilirlo, occorre sostituire all'interno del sistema i valori di k per il quale il determinante di I è pari a 0 (k=1 e k=-1) e risolvere i "nuovi" sistemi trovati.
Con k=1, il sistema diventa:
Non si riesce a determinare il valore di z, che porremo uguale a k. Pertanto il sistema è indeterminato del tipo
Con k=-1, il sistema diventa:
La prima e la seconda equazione rendono il sistema impossibile. Infatti, secondo la prima equazione, x-y+z dà come risultato 1, mentre per la seconda dà come risultato 0. Le due equazioni sono incompatibili tra di loro, e dunque il sistema non ha soluzioni.
Ricapitolando
- Se
- Se
- Se
Finalmente ho finito!!! Ho fatto una fatica immane per scriverti tutti questi passaggi in latex...:lol
[math]\begin{cases} x-y+z=1 \\ kx+y-z=0 \\ x-y+kz=k \end{cases}[/math]
Essendo un sistema di 3 equazioni in 3 incognite, consideriamo la matrice incompleta I e troviamone il determinante:
[math]\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ k & 1 & -1 \\ 1 & -1 & k \end{bmatrix}[/math]
[math]\det I=1(k-1)+1(k^2+1)+1(-k-1)=\\=k-1+k^2+1-k-1=k^2-1=(k+1)(k-1)[/math]
Se il determinante di I è diverso da 0, il sistema è determinato e ammette una e una sola soluzione.
[math]\det I \not = 0 \Rightarrow (k+1)(k-1)\not = 0 \Rightarrow k \not = \pm 1 \Rightarrow sistema\;determinato[/math]
Le soluzioni si ricavano risolvendo il sistema con il metodo di Cramer. Nella matrice I si sostiuiscono le colonne di x,y,z, si ricavano 3 determinanti diversi, i quali, divisi per il determinante di I inizialmente trovato, daranno i valori rispettivamente di x,y,z.
Sostituiamo alla colonna delle x il termine noto, ottenendo una matrice
[math]I_x[/math]
e poi calcoliamone il determinante.[math]\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ k & -1 & k \end{bmatrix}[/math]
[math]\det I_x=1(k-1)+k(1-1)=k-1[/math]
Il valore di x è dato da:
[math]x=\frac{\det I_x}{\det I}=\frac{k-1}{(k+1)(k-1)}=\frac{1}{k+1}[/math]
Sostituiamo alla colonna delle y il termine noto, ottenendo una matrice
[math]I_y[/math]
e poi calcoliamone il determinante.[math]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ k & 0 & -1 \\ 1 & k & k \end{bmatrix}[/math]
[math]\det I_y=-1(k^2+1)-k(-1-k)=-k^2-1+k+k^2=k-1[/math]
[math]y=\frac{\det I_y}{\det I}=\frac{k-1}{(k+1)(k-1)}=\frac{1}{k+1}[/math]
Sostituiamo alla colonna di z il termine noto, ottenendo una matrice
[math]I_z[/math]
e poi calcoliamone il determinante.[math]\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ k & 1 & 0 \\ 1 & -1 & k \end{bmatrix}[/math]
[math]\det I_z=1(-k-1)+k(1+k)=-k-1+k+k^2=k^2-1=(k+1)(k-1)[/math]
[math]z=\frac{\det I_z}{\det I}=\frac{(k+1)(k-1)}{(k+1)(k-1)}=1[/math]
Se il determinante è uguale a 0, il sistema è indeterminato o impossibile, cioè ammette infinite soluzioni oppure non ne ammette nessuna.
Per stabilirlo, occorre sostituire all'interno del sistema i valori di k per il quale il determinante di I è pari a 0 (k=1 e k=-1) e risolvere i "nuovi" sistemi trovati.
Con k=1, il sistema diventa:
[math]\begin{cases} x-y+z=1 \\ x+y-z=0 \\ x-y+z=1 \end{cases}[/math]
[math]\begin{cases} x-y+z=1 \\ x+y-z=0 \end{cases}[/math]
[math]\begin{cases} x=1 \\ 1+y-z=0 \end{cases}[/math]
[math]\begin{cases} x=1 \\ y=z-1 \end{cases}[/math]
[math]\begin{cases} x=1 \\ y=k-1 \\z=k \end{cases}[/math]
Non si riesce a determinare il valore di z, che porremo uguale a k. Pertanto il sistema è indeterminato del tipo
[math]\infty^1[/math]
e da le soluzioni trovate sopra.Con k=-1, il sistema diventa:
[math]\begin{cases} x-y+z=1 \\ -x+y-z=0 \\ x-y-z=-1 \end{cases}[/math]
[math]\begin{cases} x-y+z=1 \\ x-y+z=0 \\ x-y-z=-1 \end{cases}[/math]
La prima e la seconda equazione rendono il sistema impossibile. Infatti, secondo la prima equazione, x-y+z dà come risultato 1, mentre per la seconda dà come risultato 0. Le due equazioni sono incompatibili tra di loro, e dunque il sistema non ha soluzioni.
Ricapitolando
- Se
[math]k \not = \pm 1[/math]
, il sistema è determinato e da come soluzioni:[math]\begin{cases} x=\frac{1}{k+1} \\ y=\frac{1}{k+1} \\ z=1 \end{cases}[/math]
- Se
[math]k=1[/math]
, il sistema è indeterminato del tipo [math]\infty^1[/math]
e da come soluzioni:[math]\begin{cases} x=1 \\ y=k-1 \\z=k \end{cases}[/math]
- Se
[math]k=-1[/math]
, il sistema è impossibile e non ammette soluzioni.Finalmente ho finito!!! Ho fatto una fatica immane per scriverti tutti questi passaggi in latex...:lol
vi ringrazio siete stati gentilissimi e disponibilissimi.
ho fatto tutti i sistemi lineari assegnati.
ora mi mancano solo gli omomorfismi
thx
ho fatto tutti i sistemi lineari assegnati.
ora mi mancano solo gli omomorfismi
thx
M0Rf30:
vi ringrazio siete stati gentilissimi e disponibilissimi.
ho fatto tutti i sistemi lineari assegnati.
Bene...prego ;)
@gaara
cramer funziona solo con sistemi n*n. in questi esercizi si usa generalmente la riduzione gaussiana, sia perchè è più facile da applicare e meno dispendiosa, sia perchè ti permette di trovare le righe (vettori) linearmente indipendenti, ossia di vedere se una riga si ottiene per mezzo di combinazione lineare delle altre, qualunque sia l'ordine della matrice. in altre parole, per svolgere il 5 non può usare cramer
cramer funziona solo con sistemi n*n. in questi esercizi si usa generalmente la riduzione gaussiana, sia perchè è più facile da applicare e meno dispendiosa, sia perchè ti permette di trovare le righe (vettori) linearmente indipendenti, ossia di vedere se una riga si ottiene per mezzo di combinazione lineare delle altre, qualunque sia l'ordine della matrice. in altre parole, per svolgere il 5 non può usare cramer
Io infatti mi riferivo all'esercizio 4, dove tutti i sistemi sono 3x3!
nessuno che si prodighi per farli con la riduzione gaussiana?
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