Algebra: espresioni con Cubi di binomi
salve a tutti
andando avanti per il mio percorso ,dopo aver studiato i polinomi e le operazioni ad essi connessi mi sto arenando ai cubi di binomi ,dei quali avrei qualche chiarimento da chiedervi in quanto ci sono alcune cose che non mi tornano,o forse,molto probabilmente faccio qualche errore nello scriverle e pertanto non riesco a risolvere le espressioni
posto le formule degli argomenti fin dove sono arrivato in modo che possa poi postare l espressione in modo da ragionare su quanto visto fin ora e magari mi sapete dire dove sbaglio:
Differenza di quadrati: $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$
Quadrato di un binomio: $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2 ; (A-B)^2=A^2-2AB+B^2$
Quadrato di un polinomio di piu' termini: $ (A+B+C)^2 = A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC$
Cubo di un binomio: $(A+B)^3= A^3+3A^2B+3AB^2+B^3 ; (A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3 $
veniamo all'espressione che non mi torna che posto qui sotto e sviluppata in modo che magari mi sappiate indicare dove son gli errori
il fatto e' che con queste formule non ho ben capito come doverci ragionare,ed applico ,molto probabilmente le regole dei segni dove non sono necessarie e magari non le applico dove dovrebbero essere applicate
anche il modo in cui le scrivo,cioe' quando le sviluppo,molto probabilmente faccio qualche casino con le parentesi che aggiungo e quando le tolgo applico le regole delle parentesi e sbaglio il risultato....se magari mi potete spiegare il modo in cui scriverle,cioe' aggiungere parentesi nel modo corretto magari faccio poi meno casino
dico questo perche' qualche espressione piu' semplice l ho fatta venire non applicando le regole dei segni o applicandole in modo diverso....l'espressione e' venuta esatta ma non ho capito il filo logico
dunque:
$ (2p-3q)^3-2p(2p+3q)^2-9q^2(4p-3q)+60p^2q $
${(2p)^3-[3(2p)^2(-3q)]+[3(2p)(-3q)^2]-(3q)^3}-2p[(2p)^2+[2(2p)(3q)]+(3q)^2]+[-9q^2(4p)-9q^2(-3q)+60p^2q $
${8q^3-[-36p^2q]+[-45pq^2]-27q^3}-2p[4p^2+[12pq]+9q^2]-36pq^2+27q^3+60p^2q $
$8q^3+36p^2q-45pq^2-27q^3+[-2p(4p^2)-2p(12pq)-2p(9q^2)]-36pq^2+27q^3+60p^2q $
$8q^3+36p^2q-45pq^2-27q^3-8p^3-24p^2q-18pq^2-36pq^2+27q^3+60p^2q $
grazie mille
andando avanti per il mio percorso ,dopo aver studiato i polinomi e le operazioni ad essi connessi mi sto arenando ai cubi di binomi ,dei quali avrei qualche chiarimento da chiedervi in quanto ci sono alcune cose che non mi tornano,o forse,molto probabilmente faccio qualche errore nello scriverle e pertanto non riesco a risolvere le espressioni
posto le formule degli argomenti fin dove sono arrivato in modo che possa poi postare l espressione in modo da ragionare su quanto visto fin ora e magari mi sapete dire dove sbaglio:
Differenza di quadrati: $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$
Quadrato di un binomio: $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2 ; (A-B)^2=A^2-2AB+B^2$
Quadrato di un polinomio di piu' termini: $ (A+B+C)^2 = A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC$
Cubo di un binomio: $(A+B)^3= A^3+3A^2B+3AB^2+B^3 ; (A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3 $
veniamo all'espressione che non mi torna che posto qui sotto e sviluppata in modo che magari mi sappiate indicare dove son gli errori
il fatto e' che con queste formule non ho ben capito come doverci ragionare,ed applico ,molto probabilmente le regole dei segni dove non sono necessarie e magari non le applico dove dovrebbero essere applicate
anche il modo in cui le scrivo,cioe' quando le sviluppo,molto probabilmente faccio qualche casino con le parentesi che aggiungo e quando le tolgo applico le regole delle parentesi e sbaglio il risultato....se magari mi potete spiegare il modo in cui scriverle,cioe' aggiungere parentesi nel modo corretto magari faccio poi meno casino
dico questo perche' qualche espressione piu' semplice l ho fatta venire non applicando le regole dei segni o applicandole in modo diverso....l'espressione e' venuta esatta ma non ho capito il filo logico
dunque:
$ (2p-3q)^3-2p(2p+3q)^2-9q^2(4p-3q)+60p^2q $
${(2p)^3-[3(2p)^2(-3q)]+[3(2p)(-3q)^2]-(3q)^3}-2p[(2p)^2+[2(2p)(3q)]+(3q)^2]+[-9q^2(4p)-9q^2(-3q)+60p^2q $
${8q^3-[-36p^2q]+[-45pq^2]-27q^3}-2p[4p^2+[12pq]+9q^2]-36pq^2+27q^3+60p^2q $
$8q^3+36p^2q-45pq^2-27q^3+[-2p(4p^2)-2p(12pq)-2p(9q^2)]-36pq^2+27q^3+60p^2q $
$8q^3+36p^2q-45pq^2-27q^3-8p^3-24p^2q-18pq^2-36pq^2+27q^3+60p^2q $
grazie mille
Risposte
Non sono andata oltre il primo passaggio, poiché ho notato già un errore:
Per il primo pezzo $ (2p-3q)^3$ devi applicare la formula da te scritta
Se fai attenzione non l'hai applicata bene: B va inteso senza il meno..
$(2p)^3-3(2p)^2(3q)+3(2p)(3q)^2-(3q)^3$
"HeadTrip":
$ (2p-3q)^3-2p(2p+3q)^2-9q^2(4p-3q)+60p^2q $
${(2p)^3-[3(2p)^2(-3q)]+[3(2p)(-3q)^2]-(3q)^3}-2p[(2p)^2+[2(2p)(3q)]+(3q)^2]+[-9q^2(4p)-9q^2(-3q)+60p^2q $
Per il primo pezzo $ (2p-3q)^3$ devi applicare la formula da te scritta
"HeadTrip":
$(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3 $
Se fai attenzione non l'hai applicata bene: B va inteso senza il meno..
$(2p)^3-3(2p)^2(3q)+3(2p)(3q)^2-(3q)^3$
"leena":
Non sono andata oltre il primo passaggio, poiché ho notato già un errore:
[quote="HeadTrip"]$ (2p-3q)^3-2p(2p+3q)^2-9q^2(4p-3q)+60p^2q $
${(2p)^3-[3(2p)^2(-3q)]+[3(2p)(-3q)^2]-(3q)^3}-2p[(2p)^2+[2(2p)(3q)]+(3q)^2]+[-9q^2(4p)-9q^2(-3q)+60p^2q $
Per il primo pezzo $ (2p-3q)^3$ devi applicare la formula da te scritta
"HeadTrip":
$(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3 $
Se fai attenzione non l'hai applicata bene: B va inteso senza il meno..
$(2p)^3-3(2p)^2(3q)+3(2p)(3q)^2-(3q)^3$[/quote]
ecco appunto,avevo capito che stavo facendo confusione con i segni o con le parentesi
pero' non ho capito cosa s'intende per "va inteso senza meno"
dunque la formula $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$ mi confonde e non ho capito con sti segnio come devo fare
cioe',quando abbiamo (A-B) , "B" dev'essere inteso come numero negativo? oppure la formula comporta che il numero non dev'essere piu' pensato come numero negativo?
infatti faccio anche confusione con le parentesi,perche' messo il $ - $ prima della parentesi,quando la tolgo ,cambio i segni
mi puoi postare il secondo passaggio corretttamente in modo che possa individuare l'errore?
grassie
Quando hai $(A-B)$ B deve essere inteso positivo.
L'espressione giusta già te l'ho scritta, il resto del primo passaggio va bene
L'espressione giusta già te l'ho scritta, il resto del primo passaggio va bene
Se ci pensi per calcolare $(A-B)^3$ applichi la formula per $(A+C)^3$ con $C=-B$ (dove C è negativo e B è positivo), ti scrivo i passaggi:
$(A-B)^3 = (A+(-B))^3 = A^3+3A^2(-B)+3A(-B)^2+(-B)^3=$
$= A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$
Ti trovi?
$(A-B)^3 = (A+(-B))^3 = A^3+3A^2(-B)+3A(-B)^2+(-B)^3=$
$= A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$
Ti trovi?
ok si' grazie....forse adesso ci sono
e' che seguendo la formula pensavo a -3AB^2 come a -3 e scrivevo -3[(2p) ... oppure -[3(2p) ... per cui seguendo la regola dei segni,poi mi cambiava di segno a cio' che avevo messo fra parenesi
invece devo pensare al 3 come +3 ,anche perche' all interno delle parentesi,se c'e' un espressione negativa viene sempre con il meno davanti....da qui -3AB^2
grazie mille....faccio ancora qualche esercizio
e' che seguendo la formula pensavo a -3AB^2 come a -3 e scrivevo -3[(2p) ... oppure -[3(2p) ... per cui seguendo la regola dei segni,poi mi cambiava di segno a cio' che avevo messo fra parenesi
invece devo pensare al 3 come +3 ,anche perche' all interno delle parentesi,se c'e' un espressione negativa viene sempre con il meno davanti....da qui -3AB^2
grazie mille....faccio ancora qualche esercizio
ok ci sono piu' o meno
ti chiedo ancora una cosa,siccome c'e' un esercizio che non riesco a svolgere e credo di sapere dove sia il problema
l'espressione che sto risolvendo e' questa:
$ b^2(a+b)^3 - (a+b)[2b(b-a)+b(a-b)]^2 $
in questa espressione credo che l errore lo commetto quando cerco di risolvere l espressione all interno della parntesi quadra che e tutta elevata alla 2
mi sai dire come risolverla? l ho gia fatta 5-6 volte ma non mi viene
ti chiedo ancora una cosa,siccome c'e' un esercizio che non riesco a svolgere e credo di sapere dove sia il problema
l'espressione che sto risolvendo e' questa:
$ b^2(a+b)^3 - (a+b)[2b(b-a)+b(a-b)]^2 $
in questa espressione credo che l errore lo commetto quando cerco di risolvere l espressione all interno della parntesi quadra che e tutta elevata alla 2
mi sai dire come risolverla? l ho gia fatta 5-6 volte ma non mi viene
"HeadTrip":
$ b^2(a+b)^3 - (a+b)[2b(b-a)+b(a-b)]^2 $
io ho ottenuto questo risultato:
nella quadra ottieni $(a-b)(b-2b)=-b(a-b)$al quadrato è $b^2(a-b)^2$
quindi l'espressione diventa $ b^2(a+b)^3 - b^2(a+b)(a-b)^2 $
raccogli e viene $b^2(a+b)[(a+b)^2-(a-b)^2]= b^2(a+b)(4ab)=4ab^3(a+b)$
salvo errori..
grazi,ma non ho capito quando risolvi la potenza della parentesi quadra...cioe' si risolvono prima le operazioni all interno della parentesi quadrata e poi si eleva alla potenza o prima si eleva tutto alla potenza e poi si risolvono le operazioni all interno della quadra?
mi faresti vedere i pasaggi? non ci ho capito un granche'
P.S.
ci sono 4 espressioni che non mi vengono...per ora
volevo sapere se,quando non viene un espressione,c'e' modo di vedere da qualche parte come si risolve passo passo...con qualche programma o qualche altro sistema
mi faresti vedere i pasaggi? non ci ho capito un granche'
P.S.
ci sono 4 espressioni che non mi vengono...per ora
volevo sapere se,quando non viene un espressione,c'e' modo di vedere da qualche parte come si risolve passo passo...con qualche programma o qualche altro sistema
"HeadTrip":
grazi,ma non ho capito quando risolvi la potenza della parentesi quadra...cioe' si risolvono prima le operazioni all interno della parentesi quadrata e poi si eleva alla potenza o prima si eleva tutto alla potenza e poi si risolvono le operazioni all interno della quadra?
In qualunque espressione, equazione o altro l'ordine da seguire è sempre il solito: addizione, moltiplicazione, elevamento a potenza.
quindi primi fai i calcoli nelle parentesi poi elevi: $2b(b-a)+b(a-b)=2b^2-2ab+ab-b^2=b^2-ab=-b(a-b)$
poi elevi al quadrato $[-b(a-b)]^2=b^2(a-b)^2$ chiaro?
non mi son chiari gli ultimi due passsaggi
dunque ecco dove sbagliavo,quando fai le operazioni nelle parentesi rimane $ [2b^2 -2ab +ab -b^2]^2 $ che quindi riducendo in termini simili si ottiene: $ [b^2 -ab]^2 $
a questo punto pero' io faccio: $ {(b^2)^2 -2[(b^2)(-ab)]+(-ab)^2 $ e poi $b^4 -2ab^3 +a^2b^2 $
mi puoi spiegare i passagggi che hai fatto tu?
dunque ecco dove sbagliavo,quando fai le operazioni nelle parentesi rimane $ [2b^2 -2ab +ab -b^2]^2 $ che quindi riducendo in termini simili si ottiene: $ [b^2 -ab]^2 $
a questo punto pero' io faccio: $ {(b^2)^2 -2[(b^2)(-ab)]+(-ab)^2 $ e poi $b^4 -2ab^3 +a^2b^2 $
mi puoi spiegare i passagggi che hai fatto tu?
posto anche per esempio,3 esercizi svolti da me che non mi vengono e che ho provato a fare e rifare per circa un quaderno di roba ma il risultato non corrisponde a quello del libro e non capisco come mai
se mi trovate l errore che faccio,almeno capisco dove sbaglio mi fate un favore
dunque :
238)
$ (a-2)^" - (a-1)^3 + (3a-1)^3-a^2(26a-23)$
$ a^2-4-{(a)^3 +3[(a)^2(-1)]+3[(a)(-1)^2]+(-1)^3]}+{[(3a)^3+3[(3a)^2(-1)]+3[(3a)(-1)^2]+(-1)^3}+[-a^2(26a)-a^2(-23)] $
$ a^2-4-[a^3-3a^2+3a-1]+[27a^3-27a^2+9a-1]-26a^3+23a^2 $
$ a^2-4-a^3+3a^2-3a+1+27a^3-27a^2+9a-1-26a^3+23a^2 $
R. $ +6a+4 $ dovrebbe venire > $2a+4$
se mi trovate l errore che faccio,almeno capisco dove sbaglio mi fate un favore
dunque :
238)
$ (a-2)^" - (a-1)^3 + (3a-1)^3-a^2(26a-23)$
$ a^2-4-{(a)^3 +3[(a)^2(-1)]+3[(a)(-1)^2]+(-1)^3]}+{[(3a)^3+3[(3a)^2(-1)]+3[(3a)(-1)^2]+(-1)^3}+[-a^2(26a)-a^2(-23)] $
$ a^2-4-[a^3-3a^2+3a-1]+[27a^3-27a^2+9a-1]-26a^3+23a^2 $
$ a^2-4-a^3+3a^2-3a+1+27a^3-27a^2+9a-1-26a^3+23a^2 $
R. $ +6a+4 $ dovrebbe venire > $2a+4$
241)
$ b^2(a+b)^3-(a+b)[2b(b-a)+b(a-b)]^2 $
$ b^2[(a)^3+3[(a)^2(b)]+3[(a)(b)^2]+(b)^3]+(-a-b)[2b^2-2ab+ab-b^2]^2 $
$ b^2[a^3+3a^2b+3ab^2+b^3]+(-a-b)[b^4+a^2b^2] $
$ b^2(a^3)+b^2(3a^2b)+b^2(3ab^2)+b^2(b^3)+{[-a(b^4)-a(a^2b^2)]+[-b(b^4)-b(a^2b^2)]} $
$ a^3b^2+3a^2b^3+3ab^4+b^5-ab^4-a^3b^2-b^5-a^2b^3 $
R. $ 2a^2b^3+2ab^4 $ dovrebbe venire $ 4a^2b^3+4ab^4 $
in quest'espressione credo ci sia un errore ricorrente che faccio....vedete che come risultato e' quasi giusto ma ho sbagliato qualcosa da qualche parte? mi e' gia' successo in altre due espressioni una cosa simile,ma non capisco dove sbaglio
$ b^2(a+b)^3-(a+b)[2b(b-a)+b(a-b)]^2 $
$ b^2[(a)^3+3[(a)^2(b)]+3[(a)(b)^2]+(b)^3]+(-a-b)[2b^2-2ab+ab-b^2]^2 $
$ b^2[a^3+3a^2b+3ab^2+b^3]+(-a-b)[b^4+a^2b^2] $
$ b^2(a^3)+b^2(3a^2b)+b^2(3ab^2)+b^2(b^3)+{[-a(b^4)-a(a^2b^2)]+[-b(b^4)-b(a^2b^2)]} $
$ a^3b^2+3a^2b^3+3ab^4+b^5-ab^4-a^3b^2-b^5-a^2b^3 $
R. $ 2a^2b^3+2ab^4 $ dovrebbe venire $ 4a^2b^3+4ab^4 $
in quest'espressione credo ci sia un errore ricorrente che faccio....vedete che come risultato e' quasi giusto ma ho sbagliato qualcosa da qualche parte? mi e' gia' successo in altre due espressioni una cosa simile,ma non capisco dove sbaglio
239)
$ -2/3a(a^2-3b^2)+(1/2a-b)(a-2b)^2-3/2(a-2/3b)^3+1/9(15a^3+32b^3) $
$ -2/3a(a^2)-2/3(-3b^2)+(1/2a-b)[(a)^2-2(a)(-2b)+(2b)^2]-3/2[(a)^3+3[(a)^2(-2/3b)]+3[(a)(-2/3b)^2]+(-2/3b)^3]+5/3a^3+32/9b^3 $
$ -2/3a^3+2b^2+(1/2a-b)(a^2-4ab+4b^2)-3/2(a^3-2a^2b+2ab^2-8/27b^3)+5/3a^3+32/9b^3 $
$ -2/3a^3+2b^2+[1/2a(a^2)+1/2a(-4ab)+1/2a(4b^2)-b(a^2)-b(-4ab)-b(4b^2)]+[-3/2(a^3)-3/2(-2a^2b)-3/2(2ab^2)-3/2(-8/27b^3)]+5/3a^3+32/9b^3 $
$ -2/3a^3+2ab^2+1/2a^3-2a^2b+2ab^2-a^2b+4ab^2-4b^3-3/2a^3+3a^2b-3ab^2+4/9b^3+5/3a^3+32/b^3 $
R. $ 5ab^2 $ dovrebbe venire $ 6ab^2$
$ -2/3a(a^2-3b^2)+(1/2a-b)(a-2b)^2-3/2(a-2/3b)^3+1/9(15a^3+32b^3) $
$ -2/3a(a^2)-2/3(-3b^2)+(1/2a-b)[(a)^2-2(a)(-2b)+(2b)^2]-3/2[(a)^3+3[(a)^2(-2/3b)]+3[(a)(-2/3b)^2]+(-2/3b)^3]+5/3a^3+32/9b^3 $
$ -2/3a^3+2b^2+(1/2a-b)(a^2-4ab+4b^2)-3/2(a^3-2a^2b+2ab^2-8/27b^3)+5/3a^3+32/9b^3 $
$ -2/3a^3+2b^2+[1/2a(a^2)+1/2a(-4ab)+1/2a(4b^2)-b(a^2)-b(-4ab)-b(4b^2)]+[-3/2(a^3)-3/2(-2a^2b)-3/2(2ab^2)-3/2(-8/27b^3)]+5/3a^3+32/9b^3 $
$ -2/3a^3+2ab^2+1/2a^3-2a^2b+2ab^2-a^2b+4ab^2-4b^3-3/2a^3+3a^2b-3ab^2+4/9b^3+5/3a^3+32/b^3 $
R. $ 5ab^2 $ dovrebbe venire $ 6ab^2$
238) al primo passaggio $(a-2)^2=a^2-4a+4$, hai dimenticato $-4a$, il resto era giusto.
241) al secondo passaggio $[2b^2-2ab+ab-b^2]^2=[b^2-ab]^2=[b^4-2a b^3+a^2 b^2]$, hai dimenticato $-2a b^3$.
239) al primo passaggio $-2/3 a(a^2-3b^2)=-2/3 a^3 +2 ab^2$, hai dimenticato la $a$ nel secondo monomio (ma alla fine è ricomparsa
);
$(a-2b)^2=[a^2+2(a)(-2b)+4b^2]$, attento che il segno del doppio prodotto è $+$ se consideri il secondo termine con il suo segno (ovvero $-2b$);
al secondo passaggio $3[(a)(-2/3 b)^2]=4/3 a b^2$, ricordati di elevare al quadrato anche $-2/3$ e non solo $b$.
241) al secondo passaggio $[2b^2-2ab+ab-b^2]^2=[b^2-ab]^2=[b^4-2a b^3+a^2 b^2]$, hai dimenticato $-2a b^3$.
239) al primo passaggio $-2/3 a(a^2-3b^2)=-2/3 a^3 +2 ab^2$, hai dimenticato la $a$ nel secondo monomio (ma alla fine è ricomparsa
);$(a-2b)^2=[a^2+2(a)(-2b)+4b^2]$, attento che il segno del doppio prodotto è $+$ se consideri il secondo termine con il suo segno (ovvero $-2b$);
al secondo passaggio $3[(a)(-2/3 b)^2]=4/3 a b^2$, ricordati di elevare al quadrato anche $-2/3$ e non solo $b$.
ok,grazie mille
ho un espressione che ad un certo punto fa cosi':
$ +3(x^2/4)^2$
mi sai dire quell $x^2$ come la devo risolvere?
grazie
$ +3(x^2/4)^2$
mi sai dire quell $x^2$ come la devo risolvere?
grazie
Devi svolgere semplicemente il quadrato...
dunque,pero' non mi vengono ,quindi sbaglio qualcosa
dunque $ +3(x^2/4)^2 $ = $ 3x^4/16 $
poi andando avanti nelle espressioni faccio un po' di confusione...non so se devo trasformarle in qualche modo
volevo anche sapere un altra cosa:
se trovo espressioni elevate ad un altra potenza ,come per esempio 4,5 o piu',devo usare il triangolo di tartaglia per capire le formule che devo usare per svolgere l operazione (per es: $ (A+B)^4 = A^4+4A^3B+6A^2B^2+4AB^2+B^4 $
c'e' modo per arrivarci logicamente alle operazioni da compiere? o bisogna usare il triangolo di tartaglia per forza?
dunque $ +3(x^2/4)^2 $ = $ 3x^4/16 $
poi andando avanti nelle espressioni faccio un po' di confusione...non so se devo trasformarle in qualche modo
volevo anche sapere un altra cosa:
se trovo espressioni elevate ad un altra potenza ,come per esempio 4,5 o piu',devo usare il triangolo di tartaglia per capire le formule che devo usare per svolgere l operazione (per es: $ (A+B)^4 = A^4+4A^3B+6A^2B^2+4AB^2+B^4 $
c'e' modo per arrivarci logicamente alle operazioni da compiere? o bisogna usare il triangolo di tartaglia per forza?
Beh in alcuni casi puoi utilizzare i quadrati o i cubi insieme:
$(a+-b)^4=((a+-b)^2)^2$
$(a+-b)^6=((a+-b)^2)^3=((a+-b)^3)^2$
$(a+-b)^9=((a+-b)^3)^3$
Ma penso che a questo ci avevi già pensato..
$(a+-b)^4=((a+-b)^2)^2$
$(a+-b)^6=((a+-b)^2)^3=((a+-b)^3)^2$
$(a+-b)^9=((a+-b)^3)^3$
Ma penso che a questo ci avevi già pensato..
"HeadTrip":
dunque,pero' non mi vengono ,quindi sbaglio qualcosa
dunque $ +3(x^2/4)^2 $ = $ 3x^4/16 $
Questo passaggio è corretto, l'errore sarà altrove..
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