AIUTOOO PROBLEMI TALETE E SIMILITUDINE

[sirenaaaaaaa]

In un triangolo ABC, rettangolo in A, il cateto AB è lungo 9 cm e il cateto AC è lungo 12 cm. Un punto P appartenente all'ipotenusa BC è tale che i triangoli APB e APC hanno lo stesso perimetro. Oual'è la distanza di P da A?
RISULTATO
PA = 18/5 radice5 cm

[anna.supermath]

Ciao, ecco la soluzione.
Guarda anche file allegato.
Prima cosa, visto che hai i cateti, trova l’ipotenusa BC:
BC = radice quadrata di ((AB^2)+ (AC^2))
BC = radice quadrata di (81 + 144)
BC = 15cm
Poi
i triangoli BHA (retto in H) e BAC (retto in A) sono simili perché oltre all’angolo retto hanno l’angolo in B in comune (di conseguenza il terzo è uguale).
Essendo simili puoi impostare:
BH : AB = AB : BC
BH : 9 = 9 : 15
BH = 5,4cm
A questo punto trovo AH col Teorema di Pitagora:
AH = radice quadrata di ((AB^2) - (BH^2))
AH = radice quadrata di (81 - 29,16)
AH = 7,2cm
Adesso impongo
HP = x
Calcolo il perimetro del triangolo ABP, quello di APC e li uguaglio come indicato dal testo.
AP = radice quadrata di ((HP^2) + (AH^2))
AP = radice quadrata di ((x^2) + (7,2^2))
Perimetro del triangolo APB:
2p(APB) = AB + BP + AP =
= 9 + 5,4 + x + radice quadrata di ((x^2) + (7,2^2))
Perimetro del triangolo APC
2p(APC) = PC + AC + AP =
= 15 - 5,4 - x + 12 + radice quadrata di ((x^2) +(7,2^2))
Si uguagliano le due quantità (la radice si semplifica)
e svolgendo i calcoli si ottiene
x = 3,6cm
HP = 3,6cm
(per il dettaglio dei calcoli vedi file allegato)
A questo punto puoi calcolare AP usando il teorema di Pitagora:
AP = radice quadrata di ((AH^2) + (HP^2))
AP = radice quadrata di ((7,2^2) + (3,6^2))
AP = 8,05cm (valore approssimato)
Chiedi pure se hai dubbi.

Aggiunto 1 ora 31 minuti più tardi:

Dimenticavo di dirti che il risultato che ti ho scritto che è approssimato, equivale a quello che ti da il testo. Se vai a calcolarti (18/5)per la radice di 5 trovi lo stesso numeriche ti ho riportato nella soluzione.
Probabilmente perché ho usato i numeri con la virgola invece di riportarli in frazione.
64,8 =648/10
se provi a semplificare questa scrittura trovi il risultato riportato sul tuo testo.
Le soluzioni sono uguali.

Aggiunto 4 minuti più tardi:

(648/10)= (18)(18)(2)/(2)(5)
se fai la radice quadrata ottieni
18/(radice di 5)
Ho semplificato radice di due a numeratore e denominatore
poi razionalizzi ed ottieni
(18/5)(radice di 5)