AIUTOO

[omar2080]

In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (O xy ) è assegnata la parabola di equazione:
y = -x2 +2x +3


Sia P(x, y) un punto dell'arco , appartenente al primo quadrante, di detta parabola ed H la proiezione di P sull'asse delle ascisse.

Sul piano passante per il punto P e perpendicolare all'asse delle ascisse, si consideri il triangolo APB, avente i lati AP e PB uguali, il segmento PH come altezza relativa al lato AB, e tale che la somma delle lunghezze di AB e di PH sia 4.


Il candidato


a) dica quali posizioni deve occupare P sull'arco considerato affinché il triangolo APB esista;

b) limitatamente alle suddette posizioni di P, esprima l'area S del triangolo APB in funzione dell'ascissa di P e studi come essa varia al variare di P;

[MaMo2]

Se il punto P appartiene al primo quadrante deve essere 0 <= x <= 3.
Essendo PH = y = - x^2 + 2x + 3, si ha la seguente condizione:
PH + AB = 4 ===> AB = x^2 - 2x + 1.

a) Affinchè il triangolo esista deve essere PH > 0 e AB > 0, cioè:
- x^2 + 2x + 3 > 0 ===> (1 + x)(3 - x) > 0 ===> - 1 < x < 3.
x^2 - 2x + 1 > 0 ===> (x - 1)^2 > 0 ===> x diverso da 1.
Riassumendo si ha che x deve essere diverso da 3 (il triangolo si trasforma nel segmento AB) e diverso da 1 (il triangolo si trasforma nel segmento PH).

b)L'area del triangolo è:
S = (AB*PH)/2 = ((x - 1)^2(1 + x)(3 - x))/2
Studiando questa funzione si trova che essa si annulla nei punti di ascissa x = 1, x = - 1 e x = 3.
Nel punto x = 0 si ha S = 3/2.
Derivando la funzione si ottengono un minimo (1 ; 0) e due massimi (1 + sqrt(2) ; 2), (1 - sqrt(2) ; 2) ecc...