Aiuto teorema Lagrange
Ciao a tutti ho riscontrato un problema nel seguente esercizio : Stabilisci se vale il teorema di lagrange per la funzione $y=sqrt(x^2-2x)$ nell'intervallo [2,4] e, in caso affermativo, scrivi l'equazione della tangente la cui esistenza è garantita dal teorema .
Io ho trovato la derivabilità e la contintinuità e dopo ho trovato $f'(c)=sqrt(2)$ e l'ho posto uguale a $f'(x)$ trovando due soluzioni : $1+sqrt(2)$ e $1-sqrt(2)$. Innanzitutto non riesco a capire come trovare quale dei due risultati sia quello accettabile e non riesco a capire come trovare l'equazione della tangente, potreste aiutarmi? Grazie!
Io ho trovato la derivabilità e la contintinuità e dopo ho trovato $f'(c)=sqrt(2)$ e l'ho posto uguale a $f'(x)$ trovando due soluzioni : $1+sqrt(2)$ e $1-sqrt(2)$. Innanzitutto non riesco a capire come trovare quale dei due risultati sia quello accettabile e non riesco a capire come trovare l'equazione della tangente, potreste aiutarmi? Grazie!
Risposte
Beh se $x in[2,4]$ sicuramente non può essere $1-sqrt2$ che è anche minore di zero.
Quindi é $1+sqrt2)$
Inoltre ricorda che l'equazione della retta, considerando la derivata:
$y=f'(c)(x-c)+f(c)$
Quindi é $1+sqrt2)$
Inoltre ricorda che l'equazione della retta, considerando la derivata:
$y=f'(c)(x-c)+f(c)$
Grazie, ma f(c) cosa sarebbe?
La funzione calcolata nel punto $c$ ovvero $c=1+sqrt2$
Grazie, ora provo e vedo se riesco
Ho appena provato ma non riesco a capire perchè non venga...penso di sbagliare qualcosa. a me viene : $y-sqrt(1-2sqrt(2))=sqrt(2)x-sqrt(2)+2$
il risultato finale dovrebbe essere $y=sqrt(2)x-sqrt(2)-1$
il risultato finale dovrebbe essere $y=sqrt(2)x-sqrt(2)-1$
Prova a controllare i calcoli di $f(c)$ e di $f'(c)$, dovrebbe semplificarsi un pò il contenuto di quella radice:
$c = 1+ \sqrt{2}$
$ f(x) = \sqrt{x^{2} -2x}$
$ f(c) = \sqrt{c^{2} -2c} = \sqrt{(1+\sqrt(2))^{2} -2(1+\sqrt(2))} = \sqrt{1+2+2\sqrt(2) -2 - 2\sqrt(2)} = \sqrt{1} = 1$
$ f'(x) = \frac{2x -2}{2\sqrt{x^{2} -2x}} = \frac{x -1}{\sqrt{x^{2} -2x}} $
$ f'(c) = \frac{c -1}{\sqrt{c^{2} -2c}} = \frac{c -1}{f(c)} = \frac{c-1}{1} = c -1 = 1+\sqrt{2} -1 = \sqrt{2}$
$y = f'(c)(x-c)+f(c) = \sqrt{2}(x-1-\sqrt{2}) + 1 = \sqrt{2}x - \sqrt{2} -2 +1 = \sqrt{2}x - \sqrt{2} -1$
$c = 1+ \sqrt{2}$
$ f(x) = \sqrt{x^{2} -2x}$
$ f(c) = \sqrt{c^{2} -2c} = \sqrt{(1+\sqrt(2))^{2} -2(1+\sqrt(2))} = \sqrt{1+2+2\sqrt(2) -2 - 2\sqrt(2)} = \sqrt{1} = 1$
$ f'(x) = \frac{2x -2}{2\sqrt{x^{2} -2x}} = \frac{x -1}{\sqrt{x^{2} -2x}} $
$ f'(c) = \frac{c -1}{\sqrt{c^{2} -2c}} = \frac{c -1}{f(c)} = \frac{c-1}{1} = c -1 = 1+\sqrt{2} -1 = \sqrt{2}$
$y = f'(c)(x-c)+f(c) = \sqrt{2}(x-1-\sqrt{2}) + 1 = \sqrt{2}x - \sqrt{2} -2 +1 = \sqrt{2}x - \sqrt{2} -1$
facciamo un po' di ordine:
ingredienti
$f'(c)=sqrt2$
$c=1+sqrt2$
$f(x)=sqrt(x^2-2x), x in[2,4]$
$y=f'(c)(x-c)+f(c)$ ci manca appunto questo.
calcoliamo $f(1+sqrt2)$
$f(c)=sqrt((1+sqrt2)^2-2(1+sqrt2)) => f(c)=sqrt(1+2+2sqrt2-2-2sqrt2)$
$f(c)=sqrt(1)(=1)$ quindi ora abbiamo tutti gli ingredienti per la retta.
prova a ricontrollare i calcoli che hai effettuato, avrai sbagliato un conteggio da qualche parte sotto la radice.
ingredienti
$f'(c)=sqrt2$
$c=1+sqrt2$
$f(x)=sqrt(x^2-2x), x in[2,4]$
$y=f'(c)(x-c)+f(c)$ ci manca appunto questo.
calcoliamo $f(1+sqrt2)$
$f(c)=sqrt((1+sqrt2)^2-2(1+sqrt2)) => f(c)=sqrt(1+2+2sqrt2-2-2sqrt2)$
$f(c)=sqrt(1)(=1)$ quindi ora abbiamo tutti gli ingredienti per la retta.
$y=sqrt2(x-(1+sqrt2))+1$
$y=sqrt2x-sqrt2-2+1$
$y=sqrt2x-sqrt2-1$
$y=sqrt2x-sqrt2-2+1$
$y=sqrt2x-sqrt2-1$
prova a ricontrollare i calcoli che hai effettuato, avrai sbagliato un conteggio da qualche parte sotto la radice.
Ti dico io che cosa ha sbagliato: il quadrato del binomio. Proppongo una punizione corporale, credo che 20 flessioni possano bastare. 
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