Aiuto su problema di geometria 1° liceo scientifico

[skia51]

salve a tutti
ho difficoltà con questo problema di geometria:
dato un triangolo acutangolo, dimostrare che la somma delle tre altezze è inferiore al perimetro ma superiore al semi perimetro.
ho provato in vari modi, anche applicando il teorema di Pitagora ma ancora non sono riuscito a trovare una soluzione.
qualcuno può aiutarmi per favore?
grazie mille

[bellerofonte02]

Ciao. Allora io procederei in questo modo: dato un triangolo acutangolo ABC traccio le altezza AK, BQ, CH. Ora, essendo le altezze perpendicolari al lato opposto ogni altezza dividono il triangolo ABC in due triangoli rettangoli. Essendo l'ipotenusa sempre maggiore dei cateti deduco che
$AB>AK$
$AC>CH$
$BC>BQ$
Ora sommo membro a membro ottenendo quindi una disequazione sempre vera
Quindi:
$AB+BC+AC>AK+BQ+CK$
Pertanto il perimetro è maggiore della somma delle tre altezze.
Ora per il semiperimetro calcolo sempre gli stessi triangoli rettangoli e dato che so che in un triangolo ciascun lato è maggiore della somma degli altri due scrivo le seguenti disequazioni:
$AK>AC-CK$
$AK>AB-BK$
$BQ>AB-AQ$
$BQ>BC-QC$
$CH>AC-AH$
$CH>BC-BH$
Anche ora sommando membro a membro ottengono che
$AK+BQ+CH=(AB+AC+BC)/2$
Pertanto ho risolto anche la seconda parte del problema.

[skia51]

ciao ardesia
grazie per l'aiuto
era da un po che cercavo di risolvere questo problema, eppure era più semplice del previsto
grazie ancora