Aiuto sono in difficoltà

[Chiara Ferrato]

Ciao a tutti, mi trovo in difficoltà in matematica, devo risolvere un logaritmo che contiene delle frazioni ma non so come fare. Questo è il testo: log(5+X)=1/2log2+1/2log(x+3)+log2 se qualcuno riesce ad aiutarmi a capire come si svolge gliene sarei molto grata.
grazie in anticipo

[Studente Anonimo]

Dunque, siamo interessati al calcolo dell'equazione

[math]\log(x + 5) = \frac{1}{2}\log(2) + \frac{1}{2}\log(x + 3) + \log(2) \; .\\[/math]

Innanzitutto è bene imporre le condizioni di esistenza:

[math]\begin{cases} x + 5 > 0 \\ x + 3 > 0\end{cases} \; \; \Leftrightarrow \; \; x > - 3 \; .\\[/math]

Quindi, preliminarmente, semplifichiamo sommando i monomi simili:

[math]\log(x + 5) = \frac{3}{2}\log(2) + \frac{1}{2}\log(x + 3) \,, \\[/math]

poi applicando le ben note (altrimenti vanno studiate) proprietà dei logaritmi:

[math]\begin{aligned} & \log(x + 5) = \log\left(\sqrt{8}\right) + \log\left(\sqrt{x + 3}\right) \; ; \\ & \log(x + 5) - \log\left(\sqrt{8}\,\sqrt{x + 3}\right) = 0 \; ; \\& \log\left(\frac{x + 5}{\sqrt{8}\,\sqrt{x + 3}}\right) = 0 \; ; \\ & \frac{x + 5}{\sqrt{8}\,\sqrt{x + 3}} = 1 \; .\end{aligned}\\[/math]

Ora dovresti essere in grado di procedere da sola. ;)

[Chiara Ferrato]

Grazie mille per l'aiuto :)



- Nel primo passaggio:

[math]\frac{1}{2}\log(2) + \log(2) = \frac{3}{2}\log(2)[/math]

;
- per le proprietà dei logaritmi vedi pagina linkata.