Aiuto!! Sistemi lineari parametrici!!

[Nihal2490]

Ciao a tutti!!
Rieccomi con un altro bel quesito di matematica...
Riguarda i sistemi parametrici...Non ci capisco un tubo!!
Allora:
1) Determina i valori del parametro k che rendono determinato il sistema

{(k-1)x + ky=1
{(K-1)x + 2y=K-3

2) Determina i valori del parametro a che rendono non determinato il sistema
{(a+2)x -y=1
{(a+2)x -ay=-2
e in ciascuno riconosci se è determinato o impossibile.

Mi potreste spiegare i passaggi? Grazie mille!!:)

[SuperGaara]

E' piuttosto semplice, seguimi che ora ti spiego il procedimento.

Innanzitutto bisogna sapere che un sistema parametrico è determinato se il suo determinante è diverso da 0. In caso contrario, il sistema può essere o impossibile o indeterminato.

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1) Determina i valori del parametro k che rendono determinato il sistema

[math]\begin{cases} (k-1)x+ky=1\\(k-1)x+2y=k-3
\end{cases} [/math]

Bisogna porre diverso da 0 il determinante della matrice del sistema. La matrice è una tabella 2X2 (essendoci 2 equazioni nel sistema) avente nella prima riga il coefficiente della x e poi della y presenti nella prima equazione, e nella seconda riga il coefficiente della x e poi della y presenti nella seconda equazione:

[math]\begin{vmatrix} (k-1) & k \\ (k-1) & 2 \end{vmatrix}[/math]

Il determinante è dato dalla differenza del prodotto in croce dei termini della matrice:

[math]D:\;2(k-1)-k(k-1)[/math]

Poni il determinante diverso da 0 e trovi i valori di k per cui il sistema è determinato:

[math]2(k-1)-k(k-1)\ne0\\(k-1)(2-k)\ne0\\k\ne1\;o\;k\ne2[/math]

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2) Determina i valori del parametro a che rendono non determinato il sistema

[math]\begin{cases} (a+2)x -y=1 \\ {(a+2)x -ay=-2
\end{cases}[/math]

e in ciascuno riconosci se è determinato o impossibile.

In questo caso ti interessano i valori di a per cui il sistema non è determinato. Il procedimento è praticamente analogo, solo che in questo caso bisogna porre il determinante della matrice uguale a 0.

[math]\begin{vmatrix} (a+2) & -1 \\ (a+2) & -a \end{vmatrix}[/math]

[math]D:\;-a(a+2)+(a+2)[/math]

[math]-a(a+2)+(a+2)=0\\(a+2)(1-a)=0\\a=-2\;o\;a=1[/math]

Per

[math]a=-2[/math]

o

[math]a=1[/math]

il sistema non è determinato.

Per vedere se viene impossibile o indeterminato occorrerà sostituire i valori di a trovati al parametro a presente nelle equazioni del sistema e risolvere poi il sistema.

Per

[math]a=-2[/math]

risulta:

[math]\begin{cases} (-2+2)x-y=1 \\ (-2+2)x+2y=-2
\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases} 0x-y=1 \\ 0x+2y=-2
\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases} y=-1 \\ y=-1
\end{cases}[/math]

Il sistema è indeterminato.

Per

[math]a=1[/math]

risulta:

[math]\begin{cases} 3x-y=1 \\ 3x-y=-2
\end{cases}[/math]

Il sistema è impossibile.

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Se ci sono problemi o non hai capito qualche passaggio, chiedi pure e provvederò a rispiegare!