Aiuto problema di trigonometria

[Astrofisica998]

Il problema è il seguente:
La bisettrice NP del triangolo LMN misura 40. Determina NM e LP, noti l'angolo LNM = arccos 7/25 e l'angolo M = 30°.

Mi sono bloccato qui:
Ho considerato l'angolo LMN = arccos 7/25
dunque 7/25= cos LMN ma come si sfrutta questa informazione?
Per favore, aiutatemi che sono un po' avvilito in vista anche del compito a breve . Grazie in anticipo!

[anto_zoolander]

ti do un consiglio per vedere se ti sblocca, in caso chiedi.

Chiamiamo l'angolo $LNM=alpha$, notiamo che la bisettrice ci fornisce l'angolo $alpha/2$

Dalle formule di bisezione sappiamo che:

$cos(alpha/2)=sqrt((1+cosalpha)/2)$

$sin(alpha/2)=sqrt((1-cosalpha)/2)$

$cos(alpha)=7/25$ e $cos(alpha/2)=sqrt((1+7/25)/2)=4/5$

$cos(alpha)=7/25$ e $sin(alpha/2)=sqrt((1-7/25)/2))=3/5$

lato NM naturalmente confermami se i risultati sono corretti, l'errore è sempre alle porte

intanto mi trovo il lato $PM$.

$(PM)/sin(alpha/2)=40/sin30 <=> PM=80*3/5 <=> PM=48$

mi trovo l'angolo in $P$ che sarà $P+30+arccos(4/5)=180 <=> P=150-arccos(4/5)$

me ne calcolo il seno...

$sinP=sin(150-arccos(4/5))=sin(180-(30+arccos(4/5))=sin(30+arccos(4/5))$

$sinP=sin30cos(arccos(4/5))+cos30sin(arccos(4/5))$

$sinP=1/2*4/5+sqrt3/2*sqrt(1-16/25)$

$sinP=4/10+3sqrt3/10$ ovvero $sinP=(4+3sqrt3)/10$

applicando il teorema dei seni:

$(LM)/((4+3sqrt3)/10)=48/(3/5)$

$LM=32+24sqrt3$