Aiuto per dominio, segno, limiti...

[hecatae]

Buongiorno,

per la scuola avrei bisogno di trovare e spiegare dominio, segno, intersezioni, grafico, limiti e asintoti. Mi potete aiutare?

[Studente Anonimo]

Ciao,

la funziona data è la seguente:
f(x)=9x²-4/3x-1

Cominciamo con il calcolo del domini. Abbiamo una funzione razionale fratta, per cui dobbiamo imporre che il denominatore sia diverso da zero:
3x-1≠0
3x≠1
da cui
x≠1/3

Il dominio della funzione è:
dom(f)=(-∞,1/3)∪(1,3,+∞)

Le intersezioni con gli assi.

Asse x.
Bisogna risolvere l'equazione:
9x²-4/3x-1=0

Osserviamo che un rapporto nelle sue condizioni di esistenza,è uguale a zero se e solo è il numeratore uguale a zero; quindi:

9x²-4=0;
(3x+2)(3x-2)=0
3x+2=0 e 3x-2=0
x=-2/3 e x=2/3

I punti di intersezione con l'asse x sono dati da:
(2/3,0) e (-2/3,0)


Asse y.
Bisogna valutare la funzione in x=0; ovvero:
f(0)=9(0)²-4/3(0)-1= -4/-1= 4

il punto di intersezione con l'asse y è dato da: (0,4)


Segno della funzione

Per lo studio del segno della funzione dobbiamo risolvere al disequazione
9x²-4/3x-1≥0
Studiamo separatamente il segno numeratore e denominatore.

N)9x²-4≥0;
(3x+2)(3x-2)≥0⇒x≤-2/3 ∨ x≥2/3

D)3x-1>0⇒x>1/3

Dal confronto dei segni si capisce che f(x) è positiva per:

-2/3≤x