Aiuto matrice!

[indovina]

il problema è che sono riuscita a svolgerla fin qui
oltre non riesco ad andare
spero che fin qui abbia fatto bene

cmq sto ripetendo i sistemi parametrici con le matrici
(argomento)

[issima90]

[math]\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ a & 2 & 1 \\ 8 & 4 & b \end{vmatrix}[/math]

ora devi fare tt il discriminante...giusto???
l'hai fatto?

[plum]

il discriminante dovrebbe essere 4b-8-ab+8=4b-ab=b(4-a)
se il discriminante fosse diverso da 0, vorrebbe dire che la matrice completa avrebbe rango 3, mentre quella incopleta può avere al massimo rango 2. i risultati quindi, per il teorema di rouchè-capelli, non ci sarebbero.

le possibilità da studiare sono quindi 2: o a=4 o b=0. se a=4 la matrice incomplea diventa

2 1
4 2
8 4

che ha ovviamente rango 1; la matrice completa sarebbe invece

2 1 0
4 2 1
8 4 b

che ha la sottomatrice

2 0
4 1

di rango 2.
indipendentemente da b, la completa e l'incompleta non avranno lo stesso rango ---> se a=4 non ci sono soluzioni. rimane solamente da vedere cosa succede se b=0.

se b=0 l'incompleta diventa

2 1
a 2
8 4

che ha rango 1 per a=4 e rango 2 per a diverso da 4.
la completa diventa invece

2 1 0
a 2 1
8 4 0

che ha determinante 0. presa la sottomatrice

2 0
a 1

essa ha sempre rango 2 e quindi si hanno soluzioni solo se b=0 e a diverso da 4.

le soluzioni sono date dal sistema

2x+y=0
ax+2y=1

che ha soluzione

x=1/(a-4)

per tutte le a diverse da 4

[indovina]

incomincio a capirci qualks
domande

1]per calcolare il determinante hai usato la regola di sarrus giusto?

2]quale è un metodo pratico per vedere il rango?che ragionamento fai?

3]sistema indeterminato vuol dire che ci da infinite soluzioni? e determinato è solo quello con la condizione del determinante diverso da 0?

grazie di tutto!

[xico87]

senza fare troppi conti, vedi che prima e terza riga sono linearmente dipendenti (in qsto caso proporzionali) se escludi la colonna dei trmini noti, quindi deve essere b=0. poi discuti a..

per il resto nn ricordo più cramer (troppo laborioso e inutile) però se nn sbaglio si usa solo se la matrice incompleta è quadrata, visto che si basa sul calcolo del determinante (poi se nn ricordo male c'è da sostituire la colonna dei termini noti al posto di ogni colonna ecc..). in pratica nel tuo procedimento sbagli perchè vuoi calcolare il determinante di una matrice 3x2

2) per vedere il rango devi risolvere il sistema e poi vedi quante sono le righe significative della matrice associata

3) determinante nullo significa sistema indeterminato, ossia appunto infinite soluzioni

per la 1) nn so cme la chiamate

[plum]

non conosco neanche io come si chiama il metodo per calcolare il determinante...

a b c
d e f
g h i

det=a(ei-hf)-b(di-gf)+c(dh-ge)

il procedimento è questo.

cmunque per la 3 se il determinante è nullo vuol dire che o ci sono infinite soluzioni oppure che non ce n'è nessuna (prendi per esempio il sistema x+y=0 e x+y=1; il det è 0 e le soluzioni non esistono)

[indovina]

sisi

si chiama Regola di Sarrus

io uso il metodo della tabella

cmq ora mi trovo, prima avevo fatto una cretinata

nn sapevo che potev calcolare il determinante dalla matrice completa.

quindi rango per esempio di

1 2 -1

2 -1 3

1 2 1


se il determinante non è 0
per esempio è 12 >0
il rango è 3
altrimenti se **det=0** vado a vedere il minimo non nullo
è cosi?

[xico87]

sinceramente, nn credo abbia senso calcolare il determinante della matrice completa: il determinante lo usi per capire se le righe si ottengono mediante combinazione lineare di altre righe (si può fare la stessa considerazione per le colonne).. penso che issima abbia sbagliato. però ripeto: nn ricordo cramer

[plum]

si, è esatto. tra tutte le sottomatrici con determinante non nullo, quella/quelle con ordine maggiore detrminano il rango della matrice

@xico:
il teorema di rochè-capelli dice che un sistema ha soluzioni reali se e solo se il rango della completa è uguale a quello dell'incompleta

[xico87]

ah già, ora ricordo.. deve essere kronecker o una roba simile

ri-edit:
@plum
sì, ma issima ha cmq sbagliato: doveva trovare il determinante della sottomatrice (associata alla matrice incompleta, ossia senza colonna dei termini noti), nn quello della matrice completa: quello resta un errore. rouchè capelli parla di soluzioni, nn soluzioni reali, in quanto nemmeno nei complessi un'equazione del tipo 0*x = a (con a diverso da 0) ha soluzioni

[indovina]

si ma senza fare sarrus il determinante come te lo calcoli?

[plum]

ma se il determinante della completa risulta diverso da 0, allora il rango di questa è 3 e quindi per rochè-capelli non ci sono soluzioni (ne reali ne complesse:)). quindi trovare il determinante della completa è utile

@indovina: c'è un teorema strano che vale per le matrici 3x3, ma per tutte le altre devi usare per forza sarrus

cmq chiudo