Aiuto matematica (44023)

[Cannibal]

Trova i lati di un triangolo rettangolo di area uguale a 216, sapendo che sono in progressione aritmetica

[BIT5]

I lati del triangolo sono in progressione aritmetica, per cui sapendo che l'ipotenusa e' sempre il lato di un triangolo rettangolo di dimensione maggiore, avremo:

[math] c_1=x \ \ \ c_2=x+n \ \ \ i=x+2n [/math]

Sappiamo che l'area e' 216, pertanto

[math] \frac{c_1 \cdot c_2}{2}=216 \to \frac{x (x+n)}{2}=216 \to x^2+xn=432 [/math]

inoltre varra' il teorema di Pitagora.

[math] (x+2n)^2=x^2+(x+n)^2 \to \\ \to x^2+4xn+4n^2=x^2+x^2+2nx+n^2 \to \\ \to x^2-2nx-3n^2=0 [/math]

Scomponiamo con il metodo di somma e prodotto

[math] (x-3n)(x+n)=0 [/math]

Da cui

[math] x_1=3n \ \ \ x_2=-n [/math]

Sostituiamo alla prima relazione il primo valore di x

[math] (3n)^2+3n^2-432=0 \to 12n^2=432 \to n^2=36 \to n= \pm 6 [/math]

Dal momento che x=3n, il valore negativo andra' escluso (altrimenti x che esprime una lunghezza geometrica, sarebbe negativo)

Quindi i lati sel triangolo saranno

[math] c_1=18 \ \ c_2=18 + 6 = 24 \ \ i=18 + 12 = 30 [/math]

Per il secondo valore trovato, invece, avremo

[math] (-n)^2-n^2-432=0 [/math]

che ovviamente non da' soluzioni.