Aiuto matematica (226057)

[LucaRay]

[img]https://gyazo.com/497898c9fff9d147d38af9767f86be87[/img]

Salve potreste darmi una mano a risolvere questi esercizi, sono di un compito che ho fatto la scorsa settimana e sono andato parecchio male, ma vorrei capire come si fanno poichè il mio livello a matematica è parecchio basso. Grazie

[mc2]

La foto non e` chiarissima, riscrivo il testo come l'ho capito... se fosse diverso ti sara` comunque utile per capire il procedimento


Problema 1

Scrivi l'equazione della circonferenza avente il centro sulla retta di equazione x-3y+10=0 e tangente in O(0,0) alla retta di equazione y=-x/2

Il centro della circonferenza sta sulla retta x-3y+10=0 e anche sulla retta perpendicolare a y=-x/2 condotta da O, che ha equazione y=2x.

Quindi il centro della circonferenza si ottiene risolvendo il sistema

[math]\left\{\begin{array}{l}
x-3y+10=0 \\
y=2x \end{array}\right.\hspace{1cm}
[/math]

[math]
\left\{\begin{array}{l}
x-6x+10=0\\
y=2x \end{array}\right.\hspace{1cm}
[/math]

[math]x=2, y=4[/math]

Quindi il centro della circonferenza e`

[math]C(2,4)[/math]

Il raggio e` la distanza tra C ed O:

[math]R=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}[/math]

quindi la circonferenza richiesta ha equazione:

[math](x-2)^2+(y-4)^2=(2\sqrt{5})^2[/math]

(basta sviluppare i calcoli)




Problema 2

Calcola le retti passanti per A(0,9) e tangenti alla parabola di equazione y=3x^2-4x+12


La retta generica passante per A e`

[math]y=mx+9[/math]

e deve essere tangente alla parabola data. Bisogna mettere a sistema parabola e retta ed imporre che ci siano sono soluzioni coincidenti :

[math]\left\{\begin{array}{l}
y=mx+9\\
y=3x^2-4x+12 \end{array}\right.\hspace{1cm}[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}
y=mx+9\\
mx+9=3x^2-4x+12 \end{array}\right.\hspace{1cm}[/math]

[math]3x^2-(4+m)+3=0[/math]

Questa equazione di secondo grado deve avere il discriminante nullo, in modo che le soluzioni siano coincidenti:

[math]\Delta=(4+m)^2-4\cdot 3\cdot 3=0[/math]

si risolve questa equazione di secondo grado e si trovano le soluzioni:

[math]m_1=-10[/math]

,

[math]m_2=2[/math]

quindi le rette richieste sono:

[math]y=-10 x+9[/math]

e

[math]y=2x+9[/math]

Problema 3

Trova il vertice della parabola di equazione y=2x^2-8x+1


Si usa la formula nota per trovare l'ascissa del vertice:

[math]x_v=-\frac{b}{2a}=2[/math]

Poi si calcola l'ordinata:

[math]y_v=2\cdot 4-8\cdot 2+1=-7[/math]

Il vertice e`

[math]V(2,-7)[/math]

Problema 4

Una parabola ha il vertice sull'asse y e passa per A(2,1) e B(-3,2). Trovare la sua equazione

Parabola generica:

[math]y=ax^2+bx+c[/math]

Il vertice ha ascissa

[math]x_v=-\frac{b}{2a}[/math]

ma deve stare sull'asse y quindi

[math]x_v=0[/math]

cioe` b=0


La parabola quindi e`

[math]y=ax^2+c[/math]

e ora bisogna trovare le incognite a e c in modo che passi per A e B.

Passaggio per A:

[math]1=4a+c[/math]

Passaggio per B:

[math]2=9a+c[/math]

Si risolve il sistema e si trova:

[math]a=\frac{1}{5},c=\frac{1}{5}[/math]

quindi la parabola e`

[math]y=\frac{x^2+1}{5}[/math]

Aggiunto 17 minuti più tardi:

Problema 5

Determinare l'equazione della parabola avente

[math]F(1,-
\frac{23}{12}) [/math]

e

[math]V(1,-2)[/math]

Bisogna ricordare le formule:

Per la parabola generica

[math]y=ax^2+bx+c[/math]

il fuoco ha coordinate

[math]F=(-\frac{b}{2a}, \frac{1-b^2+4ac}{4a})[/math]

mentre il vertice ha coordinate

[math]V=(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})[/math]

Quindi scriviamo il sistema:

[math]\left\{\begin{array}{l}
-\frac{b}{2a}=1 \\
\frac{4ac-b^2}{4a}=-2 \\
\frac{1-b^2+4ac}{4a}=-\frac{23}{12}\end{array}\right.\hspace{1cm}
[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}
{b}=-{2a} \\
{4ac-b^2}=-{8a} \\
12({1-b^2+4ac})=-{4a}\cdot {23}\end{array}\right.\hspace{1cm}
[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}
{b}=-{2a} \\
{4ac-4a^2}=-{8a} \\
3({1-4a^2+4ac})=- {23}a\end{array}\right.\hspace{1cm}
[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}
{b}=-{2a} \\
4a(c-a+2)=0 \\
3({1-4a^2+4ac})=- {23}a\end{array}\right.\hspace{1cm}[/math]

Dalla seconda equazione, scartando la soluzione non accettabile a=0, si ha

[math]c=a-2[/math]

che sostituito nella terza equazione da` la soluzione

[math]a=3[/math]

Quindi

[math]c=1[/math]

e

[math]b=-6[/math]

e la parabola e`

[math]y=3x^2-6x+1[/math]

Aggiunto 2 minuti più tardi:

Problema 6

Determina l'equazione della parabola avente V(0,16) e direttrice y=\frac{65}{4}


Anche qui si devono usare le formule per il vertice e la direttrice.

Il procedimento e` uguale a quello del problema precedente