Aiuto limite con grafico
disegna un generico arco di parabola di equazione $y=ax^2$ (a>0) con ascisse comprese nell'intrvallo [o;p]. Suddiviso tale intervallo in n sottointervalli uguali di ampiezza $\Delta= p/n$ costruisci i rettangoli aventi per base $p/n$ e come altezza il valore massimo assunto da y in ciascuno sotto intervallo. calcola il limite della somma delle aree degli n rettangoli al tendere di n a più infinito.
allora.
primo rettangolo base = p/n, altezza $y=a(p/n)^2$
secondo rett. base= p/n altezza $ y=a(p/n)^2 + a(p/n)^2 $
e così via... dice di usare il principio di induzione... ma, cos'è? e che c'entra?
allora.
primo rettangolo base = p/n, altezza $y=a(p/n)^2$
secondo rett. base= p/n altezza $ y=a(p/n)^2 + a(p/n)^2 $
e così via... dice di usare il principio di induzione... ma, cos'è? e che c'entra?
Risposte
Bene per il primo rettangolo, ma completa calcolando la sua area $S_1$. Devi invece correggere per il secondo: l'altezza massima si ha quando $x=2*p/n$ ed è quindi $a*(2p/n)^2$; a calcoli fatti, la sua area risulta $S_2=4S_1$. In modo analogo si ricava $S_k=k^2S_1$. L'area totale è quindi
$S=S_1(1+4+9+ \ldots +n^2)$.
Dobbiamo ora calcolare la somma fra parentesi, che nei calcoli seguenti indicherò con $A_n$, ed è a questo punto che serve l'induzione (più precisamente, il principio di induzione completa). Consiste nel fare le seguenti azioni:
1) ipotizzare un formula che possa essere il risultato. Questa è la parte più difficile e spesso affidata al solo intuito (anche se qualche metodo ci sarebbe); nel nostro caso non è per nulla facile, a meno che qualcuno ci suggerisca di provare con $A_n=(n(n+1)(2n+1))/6$; spero che il tuo libro dia questo suggerimento o che in qualche pagina precedente si considerasse la somma di quadrati successivi.
2) Controllare che la formula vada bene per il primo valore di n: $A_1=(1*2*3)/6=1$, sì va bene.
3) Supposto che la formula vada bene fino a (n-1), verificare che va bene anche per n. Nel nostro caso, ponendo nella formula il valore (n-1) al posto di n, otteniamo $A_(n-1)=((n-1)n(2n-1))/6$ che riteniamo vera; si ha poi $A_n=A_(n-1)+n^2= \ldots=A_n$, come volevamo.
A questo punto sai che puoi credere a quella formula; la sostituisci in $S$ e sostituisci anche il valore di $S_1$; il resto non dovrebbe darti difficoltà.
$S=S_1(1+4+9+ \ldots +n^2)$.
Dobbiamo ora calcolare la somma fra parentesi, che nei calcoli seguenti indicherò con $A_n$, ed è a questo punto che serve l'induzione (più precisamente, il principio di induzione completa). Consiste nel fare le seguenti azioni:
1) ipotizzare un formula che possa essere il risultato. Questa è la parte più difficile e spesso affidata al solo intuito (anche se qualche metodo ci sarebbe); nel nostro caso non è per nulla facile, a meno che qualcuno ci suggerisca di provare con $A_n=(n(n+1)(2n+1))/6$; spero che il tuo libro dia questo suggerimento o che in qualche pagina precedente si considerasse la somma di quadrati successivi.
2) Controllare che la formula vada bene per il primo valore di n: $A_1=(1*2*3)/6=1$, sì va bene.
3) Supposto che la formula vada bene fino a (n-1), verificare che va bene anche per n. Nel nostro caso, ponendo nella formula il valore (n-1) al posto di n, otteniamo $A_(n-1)=((n-1)n(2n-1))/6$ che riteniamo vera; si ha poi $A_n=A_(n-1)+n^2= \ldots=A_n$, come volevamo.
A questo punto sai che puoi credere a quella formula; la sostituisci in $S$ e sostituisci anche il valore di $S_1$; il resto non dovrebbe darti difficoltà.
si lo da, ho visto.
grazie, non sapevo cosa fosse.
è molto intuitivo, non ci sarei mai arrivata a questa forula da sola
grazie ancora.
grazie, non sapevo cosa fosse.
è molto intuitivo, non ci sarei mai arrivata a questa forula da sola
grazie ancora.
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