Aiuto, impazzisco con circonferenza!
5 esercizi per casa in preparazione alla verifica sto diventando matto.... ho bisogno di risolvermi entro Pasqua mi aiutate per favore?Non voggio approfittare , ma veramente sono a disagio , almeno vedendo come li risolvete imparo sempre di piu'.
1)Le circonferenze c e c' di centri o e o' sono tangenti esternamente nel punto A.
conduci la tangente comune in A e un'altra tangente BC. le due tangenti s'intersecano in P. dimostra che gli angoli BAC e OPO' sono retti.
2)-Sono date una circonferenza di centro O e diametro AB e la retta r tangente alla circonferenza nel punto B.Scegli sulla circonferenza un punto C qualunque e traccia la retta s tangente alla circonferenza in C. Indica con P il punto di intersezione delle tangenti r ed s. Dimostra che PO è parallelo ad AC.
3) vedi foto
4) disegna una circonferenza di diametro AB scegli su di essa un punto C in modo che la tangente a essa in C incontri il prolungamento di AB dalla parte di B nel punto E. traccia il segmento CH perpendicolare ad AB. dimostra che CB è bisettrice dell'angolo HCE.
5)Disegna due circonferenze concentriche ℂ e ℂ' .
Da un punto P della circonferenza maggiore ℂ conduci le tangenti alla circonferenza minore ℂ'.
Siano A e B i punti d’intersezione con la circonferenza ℂ e C e D i punti di tangenza con ℂ.
Dimostra che ABCD è un trapezio isoscele.
********************************************
Per il secondo ho trovato cosi':
PB = PC, perchè sono parte di due trinagoli rettangoli ( OCP = OBP = 90°) con un cateto e l'ipotenusa identici. A questo punto i triangoli PBO e PCO sono congruenti perchè hanno tre lati congruenti. Quindi gli angoli BOP e POC sono uguali e vale:
AOC = 180 - 2 * POB .
il triangolo ACO è isoscele perchè due suoi lati sono uguali ( OC e OA sono entrambi raggi della stessa circonferenza) quindi gli angoli ACO e CAO sono congruenti. Per le proprietà dei triangoli :
180 - 2 * CAO - AOC = 0
180 - 2 * CAO - 180 - 2 * POB = 0
CAO = POB
Quindi PO e AC sono paralleli perchè gli angoli succitati CAO E POB sono corrispondenti di rette tagliate da una traversale, giusto?
O c'è un metodo piu' semplice?
1)Le circonferenze c e c' di centri o e o' sono tangenti esternamente nel punto A.
conduci la tangente comune in A e un'altra tangente BC. le due tangenti s'intersecano in P. dimostra che gli angoli BAC e OPO' sono retti.
2)-Sono date una circonferenza di centro O e diametro AB e la retta r tangente alla circonferenza nel punto B.Scegli sulla circonferenza un punto C qualunque e traccia la retta s tangente alla circonferenza in C. Indica con P il punto di intersezione delle tangenti r ed s. Dimostra che PO è parallelo ad AC.
3) vedi foto
4) disegna una circonferenza di diametro AB scegli su di essa un punto C in modo che la tangente a essa in C incontri il prolungamento di AB dalla parte di B nel punto E. traccia il segmento CH perpendicolare ad AB. dimostra che CB è bisettrice dell'angolo HCE.
5)Disegna due circonferenze concentriche ℂ e ℂ' .
Da un punto P della circonferenza maggiore ℂ conduci le tangenti alla circonferenza minore ℂ'.
Siano A e B i punti d’intersezione con la circonferenza ℂ e C e D i punti di tangenza con ℂ.
Dimostra che ABCD è un trapezio isoscele.
********************************************
Per il secondo ho trovato cosi':
PB = PC, perchè sono parte di due trinagoli rettangoli ( OCP = OBP = 90°) con un cateto e l'ipotenusa identici. A questo punto i triangoli PBO e PCO sono congruenti perchè hanno tre lati congruenti. Quindi gli angoli BOP e POC sono uguali e vale:
AOC = 180 - 2 * POB .
il triangolo ACO è isoscele perchè due suoi lati sono uguali ( OC e OA sono entrambi raggi della stessa circonferenza) quindi gli angoli ACO e CAO sono congruenti. Per le proprietà dei triangoli :
180 - 2 * CAO - AOC = 0
180 - 2 * CAO - 180 - 2 * POB = 0
CAO = POB
Quindi PO e AC sono paralleli perchè gli angoli succitati CAO E POB sono corrispondenti di rette tagliate da una traversale, giusto?
O c'è un metodo piu' semplice?
Risposte
Ti do una guida per il problema 1; vi troverai molti puntini, ad indicare che lì devi completare tu. Per capirci, preciso che ho posto B sulla circonferenza c' , mentre C sta su c.
Domanda 1: dimostrare che $BhatAC$ è retto.
Le rette OC ed O'B sono parallele perché ... In esse $BhatO'A$ e $ChatOA$ sono coniugati interni quindi, posto $ChatOA=2 alpha$, hai $BhatO'A=...$. Il triangolo AOC è isoscele, quindi $ChatAO=...$; analogamente calcoli $BhatAO'$. Osservando ora tutti gli angoli di vertice A (tranne quelli relativi a P) arrivi alla tesi.
Domanda 2: dimostrare che $OhatPO'$ è retto.
Per il teorema delle due tangenti, P sta sulla bisettrice di $BhatO'A$ ed anche su quella di $ChatOA$; per questi due angoli riprendi quanto già notato nella domanda 1. Inoltre PA è perpendicolare ad O'O perché ... Partendo da qui, non dovrebbe esserti difficile concludere.
Domanda 1: dimostrare che $BhatAC$ è retto.
Le rette OC ed O'B sono parallele perché ... In esse $BhatO'A$ e $ChatOA$ sono coniugati interni quindi, posto $ChatOA=2 alpha$, hai $BhatO'A=...$. Il triangolo AOC è isoscele, quindi $ChatAO=...$; analogamente calcoli $BhatAO'$. Osservando ora tutti gli angoli di vertice A (tranne quelli relativi a P) arrivi alla tesi.
Domanda 2: dimostrare che $OhatPO'$ è retto.
Per il teorema delle due tangenti, P sta sulla bisettrice di $BhatO'A$ ed anche su quella di $ChatOA$; per questi due angoli riprendi quanto già notato nella domanda 1. Inoltre PA è perpendicolare ad O'O perché ... Partendo da qui, non dovrebbe esserti difficile concludere.
"Ti do una guida per il problema 1; vi troverai molti puntini, ad indicare che lì devi completare tu. Per capirci, preciso che ho posto B sulla circonferenza c' , mentre C sta su c.
Domanda 1: dimostrare che BAˆC è retto.
Le rette OC ed O'B sono parallele perché ... In esse BOˆ'A e COˆA sono coniugati interni quindi, posto COˆA=2α, hai BOˆ'A=.... Il triangolo AOC è isoscele, quindi CAˆO=...; analogamente calcoli BAˆO'. Osservando ora tutti gli angoli di vertice A (tranne quelli relativi a P) arrivi alla tesi.
Domanda 2: dimostrare che OPˆO' è retto.
Per il teorema delle due tangenti, P sta sulla bisettrice di BOˆ'A ed anche su quella di COˆA; per questi due angoli riprendi quanto già notato nella domanda 1. Inoltre PA è perpendicolare ad O'O perché ... Partendo da qui, non dovrebbe esserti difficile concludere.
"
Scusa Gianmaria io non so perchè poni CO^A= 2α, poi ovviamente CAˆO= OC^A e stesse cose per BAˆO'.. Poi dici di osservare gli angoli al vertice di A che sono O'A^B e e OAC ma non capisco.....
Non riesco a capire nemmeno la seconda parte,questo l'ho capita "Per il teorema delle due tangenti, P sta sulla bisettrice di BOˆ'A ed anche su quella di COˆA" ma poi..... non so bisogna essere illuminati in geometria, purtroppo non ho questa capacità..
Riesci ad aiutarmi anche per gli altri? Ho verifica appena ritorno a scuola mercoledi' vorrei almeno cercare di capire questi esercizi per questo chiedo aiuto qui, non ci arrivo. In algebra non ho problema ma in geometria... è un'altra cosa purtroppo!
Per il 4 esercizio ho trovato online cosi'
"HC^B = BC^E
Dimostrazione:
il triangolo ACB è rettangolo in C^ perché inscritto nella semicirconferenza.
CA^B = BC^E perché insistono sullo stesso arco BC
CA^B = HC^B perché complementari degli angoli congruenti AC^H, CB^A
Per transitività:
HC^B = BC^E
BC risulta bisettrice di HC^E
"
ma non mi torna che CA^B = HC^B perché complementari degli angoli congruenti AC^H, CB^A.....
Oppure meglio sarebbe dire "nel triangolo ABC l'angolo A^= HCB (CH_|_AB) sono complementari di B^
BC^E è angolo alla circonf. che insiste sull'arco CB; ma anche A^ è sotteso dall'arco CB quindi A^=BC^E; ma A^=HC^B quindi
CB è la bisettrice di HC^E , è cosi?
Domanda 1: dimostrare che BAˆC è retto.
Le rette OC ed O'B sono parallele perché ... In esse BOˆ'A e COˆA sono coniugati interni quindi, posto COˆA=2α, hai BOˆ'A=.... Il triangolo AOC è isoscele, quindi CAˆO=...; analogamente calcoli BAˆO'. Osservando ora tutti gli angoli di vertice A (tranne quelli relativi a P) arrivi alla tesi.
Domanda 2: dimostrare che OPˆO' è retto.
Per il teorema delle due tangenti, P sta sulla bisettrice di BOˆ'A ed anche su quella di COˆA; per questi due angoli riprendi quanto già notato nella domanda 1. Inoltre PA è perpendicolare ad O'O perché ... Partendo da qui, non dovrebbe esserti difficile concludere.
"
Scusa Gianmaria io non so perchè poni CO^A= 2α, poi ovviamente CAˆO= OC^A e stesse cose per BAˆO'.. Poi dici di osservare gli angoli al vertice di A che sono O'A^B e e OAC ma non capisco.....
Non riesco a capire nemmeno la seconda parte,questo l'ho capita "Per il teorema delle due tangenti, P sta sulla bisettrice di BOˆ'A ed anche su quella di COˆA" ma poi..... non so bisogna essere illuminati in geometria, purtroppo non ho questa capacità..
Riesci ad aiutarmi anche per gli altri? Ho verifica appena ritorno a scuola mercoledi' vorrei almeno cercare di capire questi esercizi per questo chiedo aiuto qui, non ci arrivo. In algebra non ho problema ma in geometria... è un'altra cosa purtroppo!
Per il 4 esercizio ho trovato online cosi'
"HC^B = BC^E
Dimostrazione:
il triangolo ACB è rettangolo in C^ perché inscritto nella semicirconferenza.
CA^B = BC^E perché insistono sullo stesso arco BC
CA^B = HC^B perché complementari degli angoli congruenti AC^H, CB^A
Per transitività:
HC^B = BC^E
BC risulta bisettrice di HC^E
"
ma non mi torna che CA^B = HC^B perché complementari degli angoli congruenti AC^H, CB^A.....
Oppure meglio sarebbe dire "nel triangolo ABC l'angolo A^= HCB (CH_|_AB) sono complementari di B^
BC^E è angolo alla circonf. che insiste sull'arco CB; ma anche A^ è sotteso dall'arco CB quindi A^=BC^E; ma A^=HC^B quindi
CB è la bisettrice di HC^E , è cosi?
"mpg":
Scusa Gianmaria io non so perchè poni CO^A= 2α, poi ovviamente CAˆO= OC^A e stesse cose per BAˆO'.
La somma degli angoli di un triangolo è 180° e ci sono due angoli uguali. Quindi
$C hatA O=(180°-C hat O A)/2=(180°-2 alpha)/2=90°-alpha$
Analogamente troverai $B hatA O'=alpha$.
Poi dici di osservare gli angoli al vertice di A che sono O'A^B e e OAC ma non capisco.....
Gli angoli di vertice A (non al vertice A) sono i due che citi e che hai appena calcolato, nonché quello della tesi, cioè $B hatA C$. La somma di tutti tre fa un angolo piatto e ne sai due: ne deduci il terzo.
Non riesco a capire nemmeno la seconda parte...
Te la svolgo in parte. Poiché P sta sulla bisettrice,
$P hat O A=(C hatO A)/2=(2alpha)/2=alpha$
Poiché il triangolo PAO è rettangolo,
$A hat P O=90°-P hat O A=90°-alpha$
In modo analogo calcoli che si ha $O' hatP A=alpha$
L'angolo che ti interessa è la somma di questi due.
Qualche consiglio per queste mail.
Quando premi il tasto CITA, lo scritto viene preceduto da quote e e seguito da /quote, in parentesi quadra: non cancellarli perché servono a far sì che il tutto venga riportato in un riquadro,e si capisce che è una citazione. E' vivamente consigliato di lasciarvi solo la parte essenziale, per non appesantire il tutto; chi lo desidera può leggere l'intera mail a parte.
Puoi ottenere lo stesso riquadro anche riportando solo una frase; poi la selezioni e premi il tasto Quote(sul mio computer è il quarto della prima riga).
Le formule compaiono (dopo spedite, oppure in Anteprima) se sono precedute e seguite dal segno del dollaro. Col comando CITA vedi anche come sono state realizzate; ad esempio, ho ottenuto $A hat P O$ scrivendo A hat P O fra i segni del dollaro (gli spazi bianchi possono essere tralasciati).
"giammaria":
[quote="mpg"]Scusa Gianmaria io non so perchè poni CO^A= 2α, poi ovviamente CAˆO= OC^A e stesse cose per BAˆO'.
La somma degli angoli di un triangolo è 180° e ci sono due angoli uguali. Quindi
$C hatA O=(180°-C hat O A)/2=(180°-2 alpha)/2=90°-alpha$
Analogamente troverai $B hatA O'=alpha$.
Poi dici di osservare gli angoli al vertice di A che sono O'A^B e e OAC ma non capisco.....
Gli angoli di vertice A (non al vertice A) sono i due che citi e che hai appena calcolato, nonché quello della tesi, cioè $B hatA C$. La somma di tutti tre fa un angolo piatto e ne sai due: ne deduci il terzo.
Non riesco a capire nemmeno la seconda parte...
Te la svolgo in parte. Poiché P sta sulla bisettrice,
$P hat O A=(C hatO A)/2=(2alpha)/2=alpha$
Poiché il triangolo PAO è rettangolo,
$A hat P O=90°-P hat O A=90°-alpha$
In modo analogo calcoli che si ha $O' hatP A=alpha$
L'angolo che ti interessa è la somma di questi due.
Qualche consiglio per queste mail.
Quando premi il tasto CITA, lo scritto viene preceduto da quote e e seguito da /quote, in parentesi quadra: non cancellarli perché servono a far sì che il tutto venga riportato in un riquadro,e si capisce che è una citazione. E' vivamente consigliato di lasciarvi solo la parte essenziale, per non appesantire il tutto; chi lo desidera può leggere l'intera mail a parte.
Puoi ottenere lo stesso riquadro anche riportando solo una frase; poi la selezioni e premi il tasto Quote(sul mio computer è il quarto della prima riga).
Le formule compaiono (dopo spedite, oppure in Anteprima) se sono precedute e seguite dal segno del dollaro. Col comando CITA vedi anche come sono state realizzate; ad esempio, ho ottenuto $A hat P O$ scrivendo A hat P O fra i segni del dollaro (gli spazi bianchi possono essere tralasciati).[/quote]
Perchè BAˆO'=α e non 90-α come CAˆO?
Nel primo quesito abbiamo BA^C che dovrebbe essere 90°ora, 180° - CAˆO -BA'O = 180 -(90-α) - (90-α), non dovrebbe essere cosi'? Ma cosi' viene 2α come risultato, cosa mi sfugge?
Lo stesso vale per O'PˆA=α che non è 90-α come APˆO?
Per il 5 ho fatto un disegno non so se giusto ho iniziato con ill discorso che le due corde sono parallele ma poi dovrei dimostrare per essere isoscele che CA=DB..
"mpg":
[quote="giammaria"][quote="mpg"]Scusa Gianmaria io non so perchè poni CO^A= 2α, poi ovviamente CAˆO= OC^A e stesse cose per BAˆO'.
La somma degli angoli di un triangolo è 180° e ci sono due angoli uguali. Quindi
$C hatA O=(180°-C hat O A)/2=(180°-2 alpha)/2=90°-alpha$
Analogamente troverai $B hatA O'=alpha$.
Poi dici di osservare gli angoli al vertice di A che sono O'A^B e e OAC ma non capisco.....
Gli angoli di vertice A (non al vertice A) sono i due che citi e che hai appena calcolato, nonché quello della tesi, cioè $B hatA C$. La somma di tutti tre fa un angolo piatto e ne sai due: ne deduci il terzo.
Non riesco a capire nemmeno la seconda parte...
Te la svolgo in parte. Poiché P sta sulla bisettrice,
$P hat O A=(C hatO A)/2=(2alpha)/2=alpha$
Poiché il triangolo PAO è rettangolo,
$A hat P O=90°-P hat O A=90°-alpha$
In modo analogo calcoli che si ha $O' hatP A=alpha$
L'angolo che ti interessa è la somma di questi due.
Qualche consiglio per queste mail.
Quando premi il tasto CITA, lo scritto viene preceduto da quote e e seguito da /quote, in parentesi quadra: non cancellarli perché servono a far sì che il tutto venga riportato in un riquadro,e si capisce che è una citazione. E' vivamente consigliato di lasciarvi solo la parte essenziale, per non appesantire il tutto; chi lo desidera può leggere l'intera mail a parte.
Puoi ottenere lo stesso riquadro anche riportando solo una frase; poi la selezioni e premi il tasto Quote(sul mio computer è il quarto della prima riga).
Le formule compaiono (dopo spedite, oppure in Anteprima) se sono precedute e seguite dal segno del dollaro. Col comando CITA vedi anche come sono state realizzate; ad esempio, ho ottenuto $A hat P O$ scrivendo A hat P O fra i segni del dollaro (gli spazi bianchi possono essere tralasciati).[/quote]
Perchè BAˆO'=α e non 90-α come CAˆO?
Nel primo quesito abbiamo BA^C che dovrebbe essere 90°ora, 180° - CAˆO -BA'O = 180 -(90-α) - (90-α), non dovrebbe essere cosi'? Ma cosi' viene 2α come risultato, cosa mi sfugge?
Lo stesso vale per O'PˆA=α che non è 90-α come APˆO?[/quote]
Gianmaria appena puoi mi dici Perchè BAˆO'=α e non 90-α come CAˆO?
Nel primo quesito abbiamo BA^C che dovrebbe essere 90°ora, 180° - CAˆO -BA'O = 180 -(90-α) - (90-α), non dovrebbe essere cosi'? Ma cosi' viene 2α come risultato, cosa mi sfugge?
Lo stesso vale per O'PˆA=α che non è 90-α come APˆO?
IL tuo ragionamento va bene, ma io eviterei le differenze che portano a zero, e considererei invece l'angolo esterno.
$ChatOB=OhatAC+AhatCO$
Poichè: $OhatAC=AhatCO$ e $ChatOP=BhatOP$
segue $OhatAC=BhatOP$
$ChatOB=OhatAC+AhatCO$
Poichè: $OhatAC=AhatCO$ e $ChatOP=BhatOP$
segue $OhatAC=BhatOP$
I triangoli $AMB$ e $AMC$ sono congruenti perché hanno:
$hat(MAC)=hat(MAB)$ perché angoli alla circonferenza che insistono su archi congruenti;
$AM$ in comune ed inoltre $AM=BM$ perché corde che insistono su archi congruenti
di conseguenza i triangoli sono isosceli con lati obliqui ed angoli alla base rispettivamente congruenti $=>AB=AC$
da cui segue che $ABC$ è isoscele di base $BC$
P.S. Ho notato che hai più volte modificato il testo iniziale aggiungendo o eliminando problemi. Se hai da aggiungere nuovi problemi ti consiglio di aprire una nuova discussione.
$hat(MAC)=hat(MAB)$ perché angoli alla circonferenza che insistono su archi congruenti;
$AM$ in comune ed inoltre $AM=BM$ perché corde che insistono su archi congruenti
di conseguenza i triangoli sono isosceli con lati obliqui ed angoli alla base rispettivamente congruenti $=>AB=AC$
da cui segue che $ABC$ è isoscele di base $BC$
P.S. Ho notato che hai più volte modificato il testo iniziale aggiungendo o eliminando problemi. Se hai da aggiungere nuovi problemi ti consiglio di aprire una nuova discussione.
"igiul":
IL tuo ragionamento va bene, ma io eviterei le differenze che portano a zero, e considererei invece l'angolo esterno.
$ChatOB=OhatAC+AhatCO$
Poichè: $OhatAC=AhatCO$ e $ChatOP=BhatOP$
segue $OhatAC=BhatOP$
DI quale esercizio parli? il 2? Perchè scusa OAˆC=ACˆO e COˆP=BOˆP
"igiul":
I triangoli $AMB$ e $AMC$ sono congruenti perché hanno:
$hat(MAC)=hat(MAB)$ perché angoli alla circonferenza che insistono su archi congruenti;
$AM$ in comune ed inoltre $AM=BM$ perché corde che insistono su archi congruenti
di conseguenza i triangoli sono isosceli con lati obliqui ed angoli alla base rispettivamente congruenti $=>AB=AC$
da cui segue che $ABC$ è isoscele di base $BC$
P.S. Ho notato che hai più volte modificato il testo iniziale aggiungendo o eliminando problemi. Se hai da aggiungere nuovi problemi ti consiglio di aprire una nuova discussione.
Ho rimesso tutti gli esercizi , 2 li avevo tolti perchè mi pareva di aver trovato la soluzione.
Questo che riferimento a quale esercizio invece?
n.1 Mi sembra giù assodato che posto $hat(AOC)=2alpha$ si ha $hat(AO'B)=180°-2alpha$, parto da questi dati e dimostro la prima parte.
Dal triangolo $AOC$ si ha: $hat(CAO)=(180°-2alpha)/2=90°-alpha$
Dal triangolo $AO'B$ si ha: $hat(BAO')=(180°-(180°-2alpha))/2=alpha$
Allora: $hat(BAC)=180°-(hat(BAO')+hat(CAO))=180°-(alpha+90°-alpha)=90°$
Per la seconda parte prova a scrivere i vari passaggi con ordine e credo troverai da solo la risposta ai tuoi dubbi
Dal triangolo $AOC$ si ha: $hat(CAO)=(180°-2alpha)/2=90°-alpha$
Dal triangolo $AO'B$ si ha: $hat(BAO')=(180°-(180°-2alpha))/2=alpha$
Allora: $hat(BAC)=180°-(hat(BAO')+hat(CAO))=180°-(alpha+90°-alpha)=90°$
Per la seconda parte prova a scrivere i vari passaggi con ordine e credo troverai da solo la risposta ai tuoi dubbi
Ho risposto prima sul 2, poi sul 3 ed infine sul primo.
allego miei disegni, qui dle secondo
Scusa nel secondo perchè OAˆC=ACˆO e COˆP=BOˆP ?
Scusa nel secondo perchè OAˆC=ACˆO e COˆP=BOˆP ?
e qui disegno del primo
Perchè Dal triangolo AO'B si ha: BAO'ˆ=180°−(180°−2α)/2=α ?
se l'angolo in O' non è 2α perchè coniugato interno con l'angolo in O che è 2α, quindi non dovrebbe essere 180-2α e il tutto diviso 2? Forse facciao confusione perchè gli angoli corrispondenti sono supplementari ma dalla figura sembrano uguali....
Poi per continuare :
Poiché P sta sulla bisettrice,
POˆA=COˆA/2=2α/2=α
Poiché il triangolo PAO è rettangolo,
APˆO=90°−POˆA=90°−α
Ma come si arriva a calcolare (come mi diceva Gianmaria) che O'PˆA=α ?
Perchè Dal triangolo AO'B si ha: BAO'ˆ=180°−(180°−2α)/2=α ?
se l'angolo in O' non è 2α perchè coniugato interno con l'angolo in O che è 2α, quindi non dovrebbe essere 180-2α e il tutto diviso 2? Forse facciao confusione perchè gli angoli corrispondenti sono supplementari ma dalla figura sembrano uguali....
Poi per continuare :
Poiché P sta sulla bisettrice,
POˆA=COˆA/2=2α/2=α
Poiché il triangolo PAO è rettangolo,
APˆO=90°−POˆA=90°−α
Ma come si arriva a calcolare (come mi diceva Gianmaria) che O'PˆA=α ?
E' giusto cosi'?
POˆA=COˆA/2=2α/2=α
Poiché il triangolo PAO è rettangolo,
APˆO=90°−POˆA=90°−α
Si ha AP^O’= 90°- AO’P= 90-(180-2α/2)=90-90+ α= α
Infine
OP^O’= OP^A+ AP^O= 90°−α+ α= 90
POˆA=COˆA/2=2α/2=α
Poiché il triangolo PAO è rettangolo,
APˆO=90°−POˆA=90°−α
Si ha AP^O’= 90°- AO’P= 90-(180-2α/2)=90-90+ α= α
Infine
OP^O’= OP^A+ AP^O= 90°−α+ α= 90
"mpg":
allego miei disegni, qui dle secondo
Scusa nel secondo perchè OAˆC=ACˆO e COˆP=BOˆP ?
1. Il triangolo AOC è isoscele di base AC (AO e CO sono raggi della stessa circonferenza).
2. OP è bisettrice sia $hat(CPB)$ che di $hat(COB)$ se questo non lo sai dimostra la congruenza dei triangoli rettangoli COP e BOP.
"mpg":
e qui disegno del primo
se l'angolo in O' non è 2α perchè coniugato interno con l'angolo in O che è 2α, quindi non dovrebbe essere 180-2α e il tutto diviso 2? Forse facciao confusione perchè gli angoli corrispondenti sono supplementari ma dalla figura sembrano uguali....
Alcune considerazioni:
1. Ho l'impressione che si sia fatta confusione con gli angoli e le lettere. Io ho seguito la figura descritta e le imposizioni operate da giammaria che erano:
- il punto $C$ preso sulla circonferenza di centro $O$ ed il punto $B$ sulla circonferenza di centro $O'$;
- l'angolo $hat(AOC)=2alpha$.
E' ovvio che cambiando la posizione delle lettere o chiamando $2alpha$ un angolo diverso i conti poi non tornano.
2. Tieni presente che gli angoli coniugati sono supplementari mentre gli angoli corrispondenti sono uguali.
3. La soluzione che proponi per la seconda parte del problema va bene.
"igiul":
[quote="mpg"]e qui disegno del primo
se l'angolo in O' non è 2α perchè coniugato interno con l'angolo in O che è 2α, quindi non dovrebbe essere 180-2α e il tutto diviso 2? Forse facciao confusione perchè gli angoli corrispondenti sono supplementari ma dalla figura sembrano uguali....
Alcune considerazioni:
1. Ho l'impressione che si sia fatta confusione con gli angoli e le lettere. Io ho seguito la figura descritta e le imposizioni operate da giammaria che erano:
- il punto $C$ preso sulla circonferenza di centro $O$ ed il punto $B$ sulla circonferenza di centro $O'$;
- l'angolo $hat(AOC)=2alpha$.
E' ovvio che cambiando la posizione delle lettere o chiamando $2alpha$ un angolo diverso i conti poi non tornano.
2. Tieni presente che gli angoli coniugati sono supplementari mentre gli angoli corrispondenti sono uguali.
3. La soluzione che proponi per la seconda parte del problema va bene.[/quote]
Ma non è giusta la figura che ho fatto? SOlo che ppunto BO'A= appunto 180-2α perchè comoihato interno a CO?A, è che dalal figura sembra che i due angoli siano uguali e di 90°perchè la retta OO' passa per i 2 centri delle due circonferenze per cui si fa fatica a comprendere che COA sia 2α mentre BO'A 180-2α....
$hat(BO'A)$ e $hat(COA)$ sono coniugati interni, questa è l'unica certezza. Indicare uno dei due con $2alpha$ è stata una scelta per semplificare i calcoli nella dimostrazione.
Stai attento che quei due angoli sono uguali solo se le due circonferenze hanno uguale raggio, cosa non esplicitata nel testo.
Il tuo disegno ha il difetto di aver preso due circonferenze con uguale raggio, evita in seguito di fare ciò.
Stai attento che quei due angoli sono uguali solo se le due circonferenze hanno uguale raggio, cosa non esplicitata nel testo.
Il tuo disegno ha il difetto di aver preso due circonferenze con uguale raggio, evita in seguito di fare ciò.
"igiul":
$hat(BO'A)$ e $hat(COA)$ sono coniugati interni, questa è l'unica certezza. Indicare uno dei due con $2alpha$ è stata una scelta per semplificare i calcoli nella dimostrazione.
Stai attento che quei due angoli sono uguali solo se le due circonferenze hanno uguale raggio, cosa non esplicitata nel testo.
Il tuo disegno ha il difetto di aver preso due circonferenze con uguale raggio, evita in seguito di fare ciò.
Ma se una circonferenza avesse anche raggio piu' corto non capisco cosa ambierebbe perchè se avessimo una circonfernza piu' grande e una piu' piccola il disegno in particolare OO' non sarebbe uguale e mi farebbe pensare sempre che i 2 angoli in O e O' siano identici? ?
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