AIUTO GEOMETRIA

[montanaro]

qualcuno mi può aiutare co il seguente problema sto impazzendo

Sul lato AD di lunghezza a di un rettangolo ABCD e sui prolungamenti, oltre B e oltre C, del lato opposto BC sono dati, rispettivamente, i quattro punti D’, A’, B’, C’ con A’ interno al segmento AD’, i quali, con i vertici del rettangolo, formano segmenti legati dalla relazione


BB'/4=CC'/3=AA'/2=DD'

Sapendo inoltre che AB e CD hanno entrambi lunghezza 2a, determina i punti A’, B’, C’, D’ in modo che la somma dei quadrati dei lati del trapezio convesso A’B’C’D’ sia 16a2 .

[SuperGaara]

Dammi i risultati che ti da il libro, così domani lo faccio e ti so dire!

[montanaro]

il risultato è a/5

grazie mille se risolvi
ciap

[IPPLALA]

Io vorrei tanto aiutarmi, ma non lo so fare, non mi ricordo come si fa!

[SuperGaara]

Il disegno è questo:



Sappiamo che:

[math]AD=BC=a\\\frac{BB'}{4}=\frac{CC'}{3}=\frac{AA'}{2}=DD'\\AB=CD=2a\\A'B'^2+B'C'^2+C'D'^2+D'A'^2=16a^2[/math]

Pongo

[math]DD'=x[/math]

. Dalla relazione data dal testo ottengo:

[math]AA'=2x\;CC'=3x\;BB'=4x[/math]

Chiamo O l'intersezione tra i lati D'C' e DC, e P quella tra AB e A'B'.

Osservo che i triangoli ODD' e OCC' sono simili, avendo gli angoli in D e in C retti e gli angoli DOD' e COC' opposti al vertice. Il rapporto di similitudine è 3, in quanto CC' è il triplo di DD'. Perciò sarà anche CO=3DO e C'O=3D'O.
Sappiamo che DC=2a, perciò ricavo:

[math]OD=\frac{a}{2}\;e\;OC=\frac{3}{2}a[/math]

Osservo che i triangoli AA'P e BB'P sono simili, avendo gli angoli in A e in B retti e gli angoli APA' e BPB' opposti al vertice. Il rapporto di similitudine è 2, in quanto BB' è il doppio di AA'. Perciò sarà anche PB=2PA e A'P=2B'P.
Sappiamo che AB=2a, perciò ricavo:

[math]AP=\frac{2}{3}a\;e\;PB=\frac{4}{3}a[/math]

Col il teorema di Pitagora ricavo:

[math]D'O=\sqrt{DD'^2+DO^2}=\sqrt{x^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^+4x^2}\\A'P=\sqrt{AA'^2+AP^2}=\sqrt{4x^2+\frac{4}{9}a^2}=\frac{2}{3}\sqrt{a^+9x^2}[/math]

Da cui risulta:

[math]OC'=3D'O=\frac{3}{2}\sqrt{a^2+4x^2}\\PB'=2A'P=\frac{4}{3}\sqrt{a^2+9x^2}[/math]

Pertanto:

[math]D'C'=D'O+OC'=2\sqrt{a^2+4x^2}\\A'B'=A'P+PB'=2\sqrt{a^2+9x^2}\\A'D'=AD-DD'-AA'=a-3x\\B'C'=BC+CC'+BB'=a+7x[/math]

Infine risolviamo l'equazione risolvente data dal testo per trovare il valore di x che sarà il risultato:

[math]A'B'^2+B'C'^2+C'D'^2+D'A'^2=16a^2\\4(a^2+9x^2)+(a+7x)^2+4(a^2+4x^2)+(a-3x)^2=16a^2\\4a^2+36x^2+a^2+14ax+49x^2+4a^2+16x^2+a^2-6ax+9x^2-16a^2=0\\110x^2+8ax-6a^2=0\\55x^2+4ax-3a^2=0\\x=\frac{-2a\pm\sqrt{4a^2+165a^2}}{55}\\x=\frac{-2a\pm\sqrt{169a^2}}{55}\\x=\frac{-2a\pm13a}{55}\\x_1=-\frac{15}{55}a=-\frac{3}{11}a\\x_2=\frac{11}{55}a=\frac{a}{5}[/math]

Abbiamo ottenuto due risultati, di cui uno (

[math]x=-\frac{3}{11}a[/math]

) non è accettabile poichè negativo (in quanto a è per forza positivo essendo la misura di un lato). Pertanto, l'unica soluzione accettabile è

[math]x=\frac{a}{5}[/math]

.

[xico87]

oddio, mi sembra il progetto del nuovo boeing.. :lol

[SuperGaara]

Ma va...sono due conti...solo che è lungo spiegare a parole proprio tutto tutto quello bisogna fare...:satisfied

E poi il latex gonfia tutto...

[xico87]

mi riferivo al disegno...:anal

[SuperGaara]

Ah non avevo capito....e in effetti hai ragione :lol:lol:lol:lol

Ma è il massimo che sono riuscito a scarabocchiare...:blush

...Dai tanto si capisce lo stesso...

[IPPLALA]

Bravo Gaara... Chiudo! Credo che possa bastare!