Aiuto esercizio su limite
$lim_(x->0^+)(e^x-1)^(sin^2x)$
Ho provato a fare cosi
$lim_(x->0^+)(e^(sin^2x*ln(e^x-1)))$
Poi ho usato l'asintotico su $sinx$
$lim_(x->0^+)(e^(x^2*ln(e^x(1-1/e^x))$
Poi ho applicato la proprietà dei logaritmi per l'argomento
$lim_(x->0^+)(e^(x^2*[x+ln(1-1/e^x)]))$
Ora però non so come agire per semplificare $ln(1-1/e^x)$.
Il libro riporta come risultato $1$
Grazie
Ho provato a fare cosi
$lim_(x->0^+)(e^(sin^2x*ln(e^x-1)))$
Poi ho usato l'asintotico su $sinx$
$lim_(x->0^+)(e^(x^2*ln(e^x(1-1/e^x))$
Poi ho applicato la proprietà dei logaritmi per l'argomento
$lim_(x->0^+)(e^(x^2*[x+ln(1-1/e^x)]))$
Ora però non so come agire per semplificare $ln(1-1/e^x)$.
Il libro riporta come risultato $1$
Grazie
Risposte
$lim_(x->0^+)(e^x-1)^(sin^2x)$
Con Taylor, $ sin(x)~~x +o(x^2)$ e $ e^x~~1+x +o(x^2)$
$lim_(x->0^+) x^(x^2)$
Immagino tu sappia risolvere la classe di limiti $lim_(x->0) x^(x^n)=1$ con n=1,2,3,.....
Con Taylor, $ sin(x)~~x +o(x^2)$ e $ e^x~~1+x +o(x^2)$
$lim_(x->0^+) x^(x^2)$
Immagino tu sappia risolvere la classe di limiti $lim_(x->0) x^(x^n)=1$ con n=1,2,3,.....
"Bokonon":
$lim_(x->0^+)(e^x-1)^(sin^2x)$
Con Taylor, $ sin(x)~~x +o(x^2)$ e $ e^x~~1+x +o(x^2)$
$lim_(x->0^+) x^(x^2)$
Immagino tu sappia risolvere la classe di limiti $lim_(x->0) x^(x^n)=1$ con n=1,2,3,.....
No! Per dove siamo arrivati adesso si richiede di risolvere l'esercizio con al massimo l'uso degli asintotici
E cosa pensi che siano gli "asintotici"?
Nel senso come "asintotici" abbiamo usato solo i limiti notevoli diciamo al contrario...
Vorrei cercare di risolverlo prima cosi continuando su questa strada.
Tutto qui
Vorrei cercare di risolverlo prima cosi continuando su questa strada.
Tutto qui
Maronna come ti esprimi male per uno che studia matematica!
E io cosa ho scritto? Non riconosci il $lim_(x->0) (e^x-1)/x=1$?
E io cosa ho scritto? Non riconosci il $lim_(x->0) (e^x-1)/x=1$?
Rispondo in modo onesto! No! Poiché non conoscevo neache questo limite notevole
E non capisco come si ottenga cioè da
$ln((e^x-1)/e^x)$ come si arriva a quello da te scritto?
Grazie
$ln((e^x-1)/e^x)$ come si arriva a quello da te scritto?
Grazie
Da qua "Con Taylor, $ sin(x)~~x +o(x^2)$ e $ e^x~~1+x +o(x^2)$"
Dalle serie di McLaurin troncate abbiamo:
$sin(x)~~x rArr sin(x)/x~~1$ che altro non è che $lim_(x->0) sin(x)/x=1$
Non era questo che intendevi con "limiti notevoli al contrario"?
$e^x~~1+x rArr (e^x-1)/x~~1$ ovvero il limite notevole $lim_(x->0) (e^x-1)/x=1$ (che dovresti conoscere).
Che, più in generale, può essere scritto come $lim_(x->0) (e^(f(x))-1)/(f(x))=1$
Ho solo fatto quello che hai fatto tu per $sin(x)$ , ovvero ho usato Taylor.
Dalle serie di McLaurin troncate abbiamo:
$sin(x)~~x rArr sin(x)/x~~1$ che altro non è che $lim_(x->0) sin(x)/x=1$
Non era questo che intendevi con "limiti notevoli al contrario"?
$e^x~~1+x rArr (e^x-1)/x~~1$ ovvero il limite notevole $lim_(x->0) (e^x-1)/x=1$ (che dovresti conoscere).
Che, più in generale, può essere scritto come $lim_(x->0) (e^(f(x))-1)/(f(x))=1$
Ho solo fatto quello che hai fatto tu per $sin(x)$ , ovvero ho usato Taylor.
Ok ci sono fino a un certo punto perché di Taylor davvero non ne abbiamo mai parlato a lezione.
Arrivo qui
$ln((e^x-1)/e^x)$
Applico l'asintotico (cosi lo chiamano a lezione) e trovo
$ln(x/e^x)$
Ma poi, perdona la mia ignoranza, non capisco come ottenere $x$ da $e^x$ a denominatore
Arrivo qui
$ln((e^x-1)/e^x)$
Applico l'asintotico (cosi lo chiamano a lezione) e trovo
$ln(x/e^x)$
Ma poi, perdona la mia ignoranza, non capisco come ottenere $x$ da $e^x$ a denominatore
Perchè ti fissi?
Ti ho scritto il passaggio sin dal primo post. Evidentemente devo farlo per esteso...
$lim_(x->0^+)(e^x-1)^(sin^2x)=lim_(x->0^+) (1+x-1)^(x^2)=lim_(x->0^+) x^(x^2)$
Ho notato che con te si torna sempre al punto di partenza
Risolviamo il caso generale $lim_(x->0^+) x^(x^n)=lim_(x->0^+) e^(x^nln(x))=e^(lim_(x->0^+) (x^nln(x))$
Quindi tutto ciò che si richiede è conoscere un limite importante, ovvero $lim_(x->0^+) x^nln(x)=0$
Ti ho già dato la soluzione ma ora devi risolverlo da te.
Ci sono due modi facili facili:
a) usando L'Hopital
b) con la sostituzione $x=e^(-y)$
Se impari questo limite, automaticamente impari l'altro e infine arrivi alla soluzione diretta del tuo esercizio
Ti ho scritto il passaggio sin dal primo post. Evidentemente devo farlo per esteso...
$lim_(x->0^+)(e^x-1)^(sin^2x)=lim_(x->0^+) (1+x-1)^(x^2)=lim_(x->0^+) x^(x^2)$
Ho notato che con te si torna sempre al punto di partenza
Risolviamo il caso generale $lim_(x->0^+) x^(x^n)=lim_(x->0^+) e^(x^nln(x))=e^(lim_(x->0^+) (x^nln(x))$
Quindi tutto ciò che si richiede è conoscere un limite importante, ovvero $lim_(x->0^+) x^nln(x)=0$
Ti ho già dato la soluzione ma ora devi risolverlo da te.
Ci sono due modi facili facili:
a) usando L'Hopital
b) con la sostituzione $x=e^(-y)$
Se impari questo limite, automaticamente impari l'altro e infine arrivi alla soluzione diretta del tuo esercizio
Capisco ciò che intendi tu, eppure cerco anche di seguire ciò che mi viene detto a lezione! Di quel limite fondamentale $x^n*ln(x)$ non ne avevo mai sentito parlare e non ci è stato citato a lezione! In secondo luogo ci è stato detto di non usare quasi mai de l'Hopital poiché ad oggi a lezione non è stato dimostrato dunque non è ritenuto corretto...
Non è che si debba per forza usare de l'Hopital, Bokonon ti ha suggerito di provare per sostituzione, a quel punto è sufficiente conoscere la "gerarchia" degli infiniti per concludere, no?
Si sì però alla luce delle sue spiegazioni ha perfettamente ragione sul fatto di procedere già dall'inizio in modo diverso! In 3 passaggi, conoscendo $x^nlog(x)=0$ è fatta!
Possiamo tirare le fila del ragionamento.
Ora che abbiamo visto la strada da percorrere, questo limite si può risolvere come farebbe un liceale assai scafato.
$lim_(x->0^+)(e^x-1)^(sin^2x)=lim_(x->0^+) e^(x^2(sin(x)/x)^2ln(x)ln((e^x-1)/x)$
Ritrovandosi nella forma indeterminata $e^(-oo*0)$
Ma poichè è scaltro opererebbe la sostituzione $x=e^(-y)$
$lim_(x->+oo) e^((-y/e^(2y))(sin(e^(-y))/e^(-y))^2ln((e^(e^(-y))-1)/e^(-y))) =e^(0*1*0)=1$
Ora che abbiamo visto la strada da percorrere, questo limite si può risolvere come farebbe un liceale assai scafato.
$lim_(x->0^+)(e^x-1)^(sin^2x)=lim_(x->0^+) e^(x^2(sin(x)/x)^2ln(x)ln((e^x-1)/x)$
Ritrovandosi nella forma indeterminata $e^(-oo*0)$
Ma poichè è scaltro opererebbe la sostituzione $x=e^(-y)$
$lim_(x->+oo) e^((-y/e^(2y))(sin(e^(-y))/e^(-y))^2ln((e^(e^(-y))-1)/e^(-y))) =e^(0*1*0)=1$
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