Aiuto esercizi per concorso

[FraK23]

Ciao a tutti!
Avrei bisogno di una mano per la risoluzione di questi esercizi per la partecipazione ad un concorso


Le consegne sono quelle contenute nelle foto, mentre un terzo esercizio richiede: "Dimostra che il prodotto di tre numeri naturali consecutivi è multiplo di 6. Ho visto che quest'ultimo esercizio era già stato trattato su questo forum, ma non sono davvero riuscito a capirci niente
Grazie in anticipo!

[axpgn]

Ok, che ne dici di quello che ho postato io e di quello che ha postato 413?

[axpgn]

@FraK23
[ot]

"FraK23":... e data l'impossibilità di trovare un professore che dia ripetizioni che sappia svolgere gli esercizi in questione, ...

Possibile?

Comunque, non voglio fare pubblicità a nessuno ma, tanto per dire, nel Forum c'è una sezione "Annunci: cerco e offro" che serve anche per quello, per non parlare dei "nuovi" proprietari del Forum ovvero Skuola.net che ogni tre per due ci bombarda con la sua pubblicità "Stai cercando professori per ripetizioni, esami, ecc. ?"
Non può esserti sfuggita [/ot]

Cordialmente, Alex

[FraK23]

Guarda che ti stai perdendo in un bicchier d'acqua. Se tu hai un numero naturale [tex]n[/tex], il teorema ti dice che puoi scrivelo come

[tex]n=3q+r[/tex]

dove [tex]q,r[/tex] sono due interi univocamente determinati, e [tex]r[/tex] deve soddisfare

[tex]0\leq r\lneq 3[/tex]

quindi, quali valori può assumere [tex]r[/tex]?
Credo di aver capito: r può assumere valori 1,2,3 e dunque nel caso di 3 ad esempio potrei effettuare il raccoglimento per 3 ottenendo un prodotto di fattori, quindi il numero stesso, divisibile per 3.

[FraK23]

"axpgn":@FraK23
[ot][quote="FraK23"]... e data l'impossibilità di trovare un professore che dia ripetizioni che sappia svolgere gli esercizi in questione, ...

Possibile?

Comunque, non voglio fare pubblicità a nessuno ma, tanto per dire, nel Forum c'è una sezione "Annunci: cerco e offro" che serve anche per quello, per non parlare dei "nuovi" proprietari del Forum ovvero Skuola.net che ogni tre per due ci bombarda con la sua pubblicità "Stai cercando professori per ripetizioni, esami, ecc. ?"
Non può esserti sfuggita [/ot]

Cordialmente, Alex[/quote]

A dire il vero, sì, mi è sfuggita
Vi ringrazio intanto per i suggerimenti, tutti utilissimi, e vedo cosa riesco a trovare nella sezione "cerco e offro"
A presto!

[axpgn]

"FraK23":Credo di aver capito: r può assumere valori 1,2,3 e dunque nel caso di 3 ad esempio potrei effettuare il raccoglimento per 3 ottenendo un prodotto di fattori, quindi il numero stesso, divisibile per 3.

A dire il vero, i resti $r$ sono $0, 1, 2$ che all'atto pratico non cambiano assolutamente nulla ma dal punto di vista teorico assumere $3$ come resto è un errore grosso.
413 ha usato una notazione che non usa nessuno e che è quasi invisibile e questo ti ha tratto in inganno

Cordialmente, Alex

P.S.: In questo momento sono circondato dalla pubblicità delle ripetizioni di Skuola.net

[4131]

"axpgn":[quote="FraK23"]
413 ha usato una notazione che non usa nessuno e che è quasi invisibile e questo ti ha tratto in inganno

Cordialmente, Alex

[/quote]
La mia notazione voleva enfatizzare appunto quello ovviamente [tex]\lneq,\lneqq,\lvertneqq[/tex] sono sinonimi di [tex]<[/tex]... e mi piacciono un sacco

Comunque...
I resti della divisione di [tex]n[/tex] per [tex]3[/tex] sono [tex]0,1,2[/tex], come ti aveva già spoilerato Alex (cordialmente) , per cui, procedendo allo stesso modo, si possono determinare i resti dei due numeri naturali consecutivi [tex]n+1,n+2[/tex] in corrispondenza di [tex]r=0,1,2[/tex]. In questo modo si dimostra che uno dei tre fattori è necessariamente divisibile per [tex]3[/tex] (equivalentemente, il resto della divisione per [tex]3[/tex] di uno dei tre fattori è nullo), come aveva proposto Alex, completando la dimostrazione dell'esercizio 3 e senza dire parolacce come "congruenze"

Esempio: [tex]1,2,3[/tex] hanno resti nell'ordine [tex]1,2,0[/tex]; [tex]2,3,4[/tex] hanno resti nell'ordine [tex]2,0,1[/tex], e così via...

[ot]Io sto usando un AdBlocker, ma questo non lo diremo a Skuola.net[/ot]

[gugo82]

"FraK23":Perfetto, grazie mille.
Io allora approfitto dell'argomento già aperto per inviare gli altri esercizi "critici" man mano che li trovo, se avete la pazienza e il tempo di dedicarvici anche superficialmente.

Questo non so proprio come svolgerlo..
Grazie

Questo è un tipico esercizio di Analisi I.
Supponi $x >= y >0$, dividi tutto per $y$, semplifica, porta tutto al secondo membro e chiama $t:=x/y >=1$, in modo da trasformare la tua disuguaglianza in:

$(t - 1)^a - t^a + 1 >= 0$

(i valori assoluti sono inutili perché la potenza è crescente). Questa disuguaglianza si prova calcolando il minimo/l'estremo inferiore $m_a$ della funzione $f_a(t) := (t - 1)^a - t^a + 1$ per $t >= 1$ e mostrando che è $m_a >= 0$.

[4131]

Ma comeee? Sei stato criptico sugli altri esercizi e ora svuoti il sacco subito?

Allora do anche la mia proposta di soluzione sperando di non scrivere troppe castronerie. Assumo per noto:

[list=i]
[*:3daklp94] la funzione

[tex]f\colon\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R},\quad f\colon x\mapsto x^a[/tex]

è monotona crescente per [tex]0 < a <1[/tex];[/*:m:3daklp94]
[*:3daklp94] la funzione

[tex]f\colon\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R},\quad f\colon x\mapsto x^b[/tex]

è monotona decrescente per [tex]-1< b<0[/tex].[/*:m:3daklp94][/list:o:3daklp94]

Assumiamo [tex]0< y< x[/tex]. Applichiamo i.

[tex]\forall a\in (0,1)\, (0< y< x\rightarrow 0< y^a< x^a)[/tex]

da cui

[tex]x^a-y^a>0[/tex]

pertanto è sufficiente dimostrare

[tex]x^a\leq y^a+(x-y)^a.[/tex]

Definiamo

[tex]s:=x-y,\,t:=y\quad (t,s\in\mathbb{R}_{>0}),[/tex]

e riscriviamo la disuguaglianza

[tex](t+s)^a\leq t^a + s^a,\quad 0< a< 1.[/tex]

Ora

[tex]\begin{align*}
(t+s)^a&=(t+s)(t+s)^{a-1}\\
&=t(t+s)^{a-1}+s(t+s)^{a-1}\\
&< tt^{a-1}+ss^{a-1}\\
&=t^a+s^a
\end{align*}[/tex]

infatti, da ii.

[tex]\forall a\in (0,1)\,(0< s,t< t+s\rightarrow (t+s)^{a-1}< t^{a-1},s^{a-1})[/tex]

poiché [tex]-1< a-1 <0[/tex].

I casi rimanenti ([tex]a=0,1[/tex]) e [tex]x=y[/tex] sono provati sostituendo direttamente nella disuguaglianza data.

[gugo82]

"413":Ma comeee? Sei stato criptico sugli altri esercizi e ora svuoti il sacco subito?

Quello che vedo è una differenza sostanziale: quest'ultimo esercizio, rispetto agli altri, è un esercizio "tecnico" e se non conosci la tecnica giusta non lo risolvi.[nota]Non che non si possa fare altrimenti (ad esempio, si può dimostrare la cosa per $a in QQ$ e poi usare densità), ma ci si spargono ettolitri di sangue... E non vale la pena.[/nota]

[4131]

@gugo[ot]ho visto megas_archon bazzicare da queste parti prima, magari riesce a tirare fuori il pullback di qualche quadrato commutativo per dimostrare la disuguaglianza [/ot]

[axpgn]

Per curiosità: non avete commentato la mia "soluzione" che seppur grezza e da formalizzare (per esempio con derivate e così via) mi pare funzioni senza essere particolarmente complicata.
Le critiche sono sempre gradite (si impara )

Cordialmente, Alex

[gugo82]

Perdonami, Alex, ma il tuo contributo mi era sfuggito.

"axpgn":[quote="FraK23"]Questo non so proprio come svolgerlo..

Premesso che il Forum non funziona così (un minimo di sforzo va dimostrato) e che non mi pare che siano argomenti generalmente trattati alle Superiori (che concorso è? E già che ci siamo pure il titolo del thread andrebbe modificato con uno più specifico, soprattutto eliminando "aiuto" ), io che non sono pratico di esponenziali farei così (in modo molto grossolano) ...

La funzione $x^(alpha)$ con $x>=0$ e $0 )
Ora poniamo sia $Delta=x^(alpha)-y^(alpha)$ e sia $d=x-y$ (supposto anche $x>y$ senza perdere di generalità)
Quindi $d^(alpha)=(x-y)^(alpha)$ che posso vedere anche come $d^(alpha)=(d-0)^(alpha)$ ovvero $x-y=d-0$
Da questo fatto mi viene da notare che a parità di "salto in orizzontale" (cioè a parità di variazione della $x$), il "salto in verticale" (cioè la variazione della $y$ ovvero del valore della funzione) sarà maggiore nel caso $d-0$ che in quello $x-y$ data la maggio ripidità della funzione a sinistra piuttosto che a destra. IMHO[/quote]
Sì, certo, l'idea è questa; e quest'intuizione può pure andare bene in un test.
Ma se ti viene chiesto di dimostrare, la prospettiva è differente.


P.S.: La funzione $x^a$ è concava se $0 <= a <= 1$, strettamente se $0 < a < 1$.
La curvatura del suo grafico è tutt'altro che costante, geometricamente parlando.

P.P.S.: Una funzione è convessa quando lo è, in senso geometrico, il suo epigrafico , cioè la regione di piano (o spazio) che giace al disopra del grafico.
Per ricordarlo, mi dico che la parabola $y = x^2$ è convessa.

[gugo82]

@ 413:[ot]

"413":@gugo: ho visto megas_archon bazzicare da queste parti prima, magari riesce a tirare fuori il pullback di qualche quadrato commutativo per dimostrare la disuguaglianza

Oppure ha sbagliato a scegliere l'account con cui loggare, visti quanti ne ha... [/ot]

[axpgn]

"gugo82":P.S.: ... La curvatura del suo grafico è tutt'altro che costante, geometricamente parlando

Eh, sì, ho usato impropriamente l'aggettivo "costante" riferendomi alla curvatura quando volevo solamente dire che è "costantemente" concava ...
Questo fatto mi fa dire che anche quando "si parla" informalmente, si deve fare molta attenzione alle parole usate ...

"gugo82":P.P.S.: Una funzione è convessa quando lo è, in senso geometrico, il suo epigrafico , cioè la regione di piano (o spazio) che giace al disopra del grafico.

Adesso ho finalmente capito perché mi è sempre sembrata una definizione "contraria" al buon senso; riferendosi alla "superficie che sta sopra" mi torna tutto

Thanks, Alex

[gugo82]

"axpgn":[quote="gugo82"]P.S.: ... La curvatura del suo grafico è tutt'altro che costante, geometricamente parlando

Eh, sì, ho usato impropriamente l'aggettivo "costante" riferendomi alla curvatura quando volevo solamente dire che è "costantemente" concava ...
Questo fatto mi fa dire che anche quando "si parla" informalmente, si deve fare molta attenzione alle parole usate ...[/quote]
Avevo intuìto, ma meglio precisare...

"axpgn":[quote="gugo82"]P.P.S.: Una funzione è convessa quando lo è, in senso geometrico, il suo epigrafico , cioè la regione di piano (o spazio) che giace al disopra del grafico.

Adesso ho finalmente capito perché mi è sempre sembrata una definizione "contraria" al buon senso; riferendosi alla "superficie che sta sopra" mi torna tutto

Thanks, Alex[/quote]
Figurati, l'ho capito quando scrivevo la tesi...

L'altra cosa che mi ha sempre mandato al manicomio è che i segmenti di secante al grafico di una funzione convessa stanno al disopra del grafico, mentre le rette tangenti (che delle secanti sono limiti) stanno al disotto del grafico... Echepalle!