Aiuto esercizi per concorso
Ciao a tutti!
Avrei bisogno di una mano per la risoluzione di questi esercizi per la partecipazione ad un concorso
Le consegne sono quelle contenute nelle foto, mentre un terzo esercizio richiede: "Dimostra che il prodotto di tre numeri naturali consecutivi è multiplo di 6. Ho visto che quest'ultimo esercizio era già stato trattato su questo forum, ma non sono davvero riuscito a capirci niente
Grazie in anticipo!
Avrei bisogno di una mano per la risoluzione di questi esercizi per la partecipazione ad un concorso
Le consegne sono quelle contenute nelle foto, mentre un terzo esercizio richiede: "Dimostra che il prodotto di tre numeri naturali consecutivi è multiplo di 6. Ho visto che quest'ultimo esercizio era già stato trattato su questo forum, ma non sono davvero riuscito a capirci niente
Grazie in anticipo!
Risposte
Idee tue?
No, sono degli esercizi "tipo" che vengono forniti per esercitarsi
Questi sono quelli relativi ad una sezione riguardante i numeri interi
Questi sono quelli relativi ad una sezione riguardante i numeri interi
Prova a partire dal secondo
Qual è la definizione di numero primo?
Esiste una fattorizzazione di [tex]4n^4-1[/tex]? Dovrebbe essere evidente...
Esiste una fattorizzazione di [tex]4n^4+1[/tex]?
Per ogni [tex]n>1[/tex] gli interi [tex]4n^4-1[/tex] e [tex]4n^4+1[/tex] non sono numeri primi.
Qual è la definizione di numero primo?
Esiste una fattorizzazione di [tex]4n^4-1[/tex]? Dovrebbe essere evidente...
Esiste una fattorizzazione di [tex]4n^4+1[/tex]?
"FraK23":
No, sono degli esercizi "tipo" che vengono forniti per esercitarsi
Questi sono quelli relativi ad una sezione riguardante i numeri interi
Intendevo: hai qualche idea in merito alla soluzione dei quesiti?
Hai provato a fare qualcosa? Se sì, cosa?
Come ti sei mosso?
Sì, mi scuso per il fraintendimento..
(Per numero primo si intende un numero divisibile solo per 1 e per se stesso)
La fattorizzazione del primo numero è una differenza di quadrati, per cui otterrei (2n^2+1)*(2n^2-1), dimostrando che il primo numero non è primo
Il secondo numero mi sembra invece sia una somma di quadrati, per cui non posso fattorizzarlo; il calcolo di (2n^2+1)^2 non dà 4n^4+1
***
Mi correggo: ho appena visto come si possa effettivamente scomporre una somma di quadrati, e sono riuscito a scomporre anche il secondo numero.
La domanda che però mi rimane è quel n>1 come condizione iniziale. Ho verificato che per n<1 e n=1 l'esercizio non torna, ma non so se, dopo la fattorizzazione di entrambi i numeri l'esercizio può dirsi concluso o se devo dire altro in relazione a n.
(Per numero primo si intende un numero divisibile solo per 1 e per se stesso)
La fattorizzazione del primo numero è una differenza di quadrati, per cui otterrei (2n^2+1)*(2n^2-1), dimostrando che il primo numero non è primo
Il secondo numero mi sembra invece sia una somma di quadrati, per cui non posso fattorizzarlo; il calcolo di (2n^2+1)^2 non dà 4n^4+1
***
Mi correggo: ho appena visto come si possa effettivamente scomporre una somma di quadrati, e sono riuscito a scomporre anche il secondo numero.
La domanda che però mi rimane è quel n>1 come condizione iniziale. Ho verificato che per n<1 e n=1 l'esercizio non torna, ma non so se, dopo la fattorizzazione di entrambi i numeri l'esercizio può dirsi concluso o se devo dire altro in relazione a n.
E cosa vorresti dire di più?
Per $n=1$ la cosa non funziona; per $n > 1$ i due numeri sono fattorizzabili nel prodotto di due numeri $>1$.
Hai finito.
L'altro esercizio è, didatticamente, più interessante.
Hai provato a pensarci un po'?
Per $n=1$ la cosa non funziona; per $n > 1$ i due numeri sono fattorizzabili nel prodotto di due numeri $>1$.
Hai finito.
L'altro esercizio è, didatticamente, più interessante.
Hai provato a pensarci un po'?
Se non sai proprio come attaccare il primo, potresti provare a calcolare il resto della divisione per [tex]7[/tex] di
[tex]2^n,\quad n=3,4,5,6,7,8[/tex]
per vedere se ti salta all'occhio qualcosa e azzardare una proposta di ciò che vorresti dimostrare
[tex]2^n,\quad n=3,4,5,6,7,8[/tex]
per vedere se ti salta all'occhio qualcosa e azzardare una proposta di ciò che vorresti dimostrare
Per quanto riguarda l'esercizio con la divisione, ho notato che il resto è ciclico, e che assume i valori 1,2 e 4 periodicamente, ma non riesco ad esprimerlo in funzione di niente, e non so come fare
È ciclico e non mi pare che per il concorso tu debba dimostrarlo.
Quindi accontentati di quello che è sufficiente
Invece il terzo esercizio è banalissimo rispetto agli altri due, cosa è che non ti è chiaro?
Cordialmente, Alex
Quindi accontentati di quello che è sufficiente
Invece il terzo esercizio è banalissimo rispetto agli altri due, cosa è che non ti è chiaro?
Cordialmente, Alex
"axpgn":
È ciclico e non mi pare che per il concorso tu debba dimostrarlo.
Quindi accontentati di quello che è sufficiente
Però magari ragionare sul perché è ciclico?
Certo, tutto si può fare, ma non mi pare l'obiettivo dell'OP, senza contare che ragionare sulla ciclicità significa affrontare l'argomento "congruenze" e relative proprietà ed in tal caso io mi sentirei di consigliargli lo studio del capitolo su un buon libro ... IMHO
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"axpgn":
significa affrontare l'argomento "congruenze" e relative proprietà
Ottimo, così il terzo esercizio diventa veramente banale
Ringrazio intento tutti per le precedenti risposte!
Quello che non mi è chiaro nell'altro esercizio è come dimostrare che uno tra i tre numeri è divisibile per 3.
Riesco facilmente a dimostrare che almeno uno dei tre numeri sarà pari, di conseguenza divisibile per 2, perché i numeri pari si alternano a quelli dispari, ma per quanto riguarda la divisibilità per 3, io ci arriverei dicendo semplicemente che un numero divisibile per 3 si ha "ogni 2 numeri", e dal momento che l'intervallo di numeri consecutivi qui è di tre numeri, ci sarà almeno un numero divisibile per tre.
Il dubbio che mi rimane è: l'esercizio non può essere dimostrato con il principio di induzione?
Grazie
Quello che non mi è chiaro nell'altro esercizio è come dimostrare che uno tra i tre numeri è divisibile per 3.
Riesco facilmente a dimostrare che almeno uno dei tre numeri sarà pari, di conseguenza divisibile per 2, perché i numeri pari si alternano a quelli dispari, ma per quanto riguarda la divisibilità per 3, io ci arriverei dicendo semplicemente che un numero divisibile per 3 si ha "ogni 2 numeri", e dal momento che l'intervallo di numeri consecutivi qui è di tre numeri, ci sarà almeno un numero divisibile per tre.
Il dubbio che mi rimane è: l'esercizio non può essere dimostrato con il principio di induzione?
Grazie
"FraK23":
io ci arriverei dicendo semplicemente che un numero divisibile per 3 si ha "ogni 2 numeri", e dal momento che l'intervallo di numeri consecutivi qui è di tre numeri, ci sarà almeno un numero divisibile per tre.
E cosa vuoi di più?
Se hai tre interi consecutivi, non è difficile dimostrare che i resti della divisione per tre sono $0, 1, 2$ quindi almeno uno è multiplo di tre.
Cordialmente, Alex
Perfetto, grazie mille.
Io allora approfitto dell'argomento già aperto per inviare gli altri esercizi "critici" man mano che li trovo, se avete la pazienza e il tempo di dedicarvici anche superficialmente.
Questo non so proprio come svolgerlo..
Grazie
Io allora approfitto dell'argomento già aperto per inviare gli altri esercizi "critici" man mano che li trovo, se avete la pazienza e il tempo di dedicarvici anche superficialmente.
Questo non so proprio come svolgerlo..
Grazie
Per "l'esercizio 3".
Prova a ragionare usando questo teorema che dovresti conoscere.
[ot]Ma Gugo si è defilato?[/ot]
Per l'esercizio brutto brutto.
E se tu provassi a dimostrare invece
Prova a ragionare usando questo teorema che dovresti conoscere.
Siano [tex]a,b\in\mathbb{Z},b\ne0[/tex], allora esistono e sono unici [tex]q,r\in\mathbb{Z}[/tex] tali che
[tex]a=bq+r,\quad0 \leq r\lneq \lvert b\rvert[/tex]
[ot]Ma Gugo si è defilato?[/ot]
Per l'esercizio brutto brutto.
E se tu provassi a dimostrare invece
[tex](t+s)^a\leq t^a+s^a,\quad t,s\in\mathbb{R}_{>0},a\in[0,1]\subseteq\mathbb{R}?[/tex]
Mi dispiace, ma nell'esercizio 3 non capisco davvero come questo teorema possa tornarmi utile...
Nell'esercizio "brutto" invece non capisco cosa fare o quali proprietà sfruttare, dal momento di "a" non so niente se non che è un numero razionale, e che comporterebbe perciò delle radici, ma niente di più
Nell'esercizio "brutto" invece non capisco cosa fare o quali proprietà sfruttare, dal momento di "a" non so niente se non che è un numero razionale, e che comporterebbe perciò delle radici, ma niente di più
"FraK23":
Questo non so proprio come svolgerlo..
Premesso che il Forum non funziona così (un minimo di sforzo va dimostrato) e che non mi pare che siano argomenti generalmente trattati alle Superiori (che concorso è? E già che ci siamo pure il titolo del thread andrebbe modificato con uno più specifico, soprattutto eliminando "aiuto"
), io che non sono pratico di esponenziali farei così (in modo molto grossolano) ...La funzione $x^(alpha)$ con $x>=0$ e $0
)Ora poniamo sia $Delta=x^(alpha)-y^(alpha)$ e sia $d=x-y$ (supposto anche $x>y$ senza perdere di generalità)
Quindi $d^(alpha)=(x-y)^(alpha)$ che posso vedere anche come $d^(alpha)=(d-0)^(alpha)$ ovvero $x-y=d-0$
Da questo fatto mi viene da notare che a parità di "salto in orizzontale" (cioè a parità di variazione della $x$), il "salto in verticale" (cioè la variazione della $y$ ovvero del valore della funzione) sarà maggiore nel caso $d-0$ che in quello $x-y$ data la maggio ripidità della funzione a sinistra piuttosto che a destra. IMHO
Cordialmente, Alex
"FraK23":
Mi dispiace, ma nell'esercizio 3 non capisco davvero come questo teorema possa tornarmi utile...
Guarda che ti stai perdendo in un bicchier d'acqua. Se tu hai un numero naturale [tex]n[/tex], il teorema ti dice che puoi scrivelo come
[tex]n=3q+r[/tex]
dove [tex]q,r[/tex] sono due interi univocamente determinati, e [tex]r[/tex] deve soddisfare
[tex]0\leq r\lneq 3[/tex]
quindi, quali valori può assumere [tex]r[/tex]?
"FraK23":
Nell'esercizio "brutto" invece non capisco cosa fare o quali proprietà sfruttare, dal momento di "a" non so niente se non che è un [strike]numero razionale[/strike], e che comporterebbe perciò delle radici, ma niente di più
[tex]a[/tex] è un numero reale nell'intervallo [tex][0,1][/tex]. Ti interessa una certa proprietà delle funzioni
[tex]f\colon\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R},\quad f\colon x\mapsto x^a.[/tex]
"axpgn":
[quote="FraK23"]Questo non so proprio come svolgerlo..
Premesso che il Forum non funziona così (un minimo di sforzo va dimostrato) e che non mi pare che siano argomenti generalmente trattati alle Superiori (che concorso è? E già che ci siamo pure il titolo del thread andrebbe modificato con uno più specifico, soprattutto eliminando "aiuto"
), io che non sono pratico di esponenziali farei così (in modo molto grossolano) ...[/quote]Mi scuso innanzitutto se ho dimostrato un atteggiamento parassitario come utente del Forum.
Si tratta del concorso per l'accesso all'Accademia Navale di Livorno, che prevede la famigerata prova orale di matematica come ultima prova dell'iter concorsuale. Data la mia maturità classica come bagaglio culturale, e data l'impossibilità di trovare un professore che dia ripetizioni che sappia svolgere gli esercizi in questione, mi sto rivolgendo a questo Forum come una tra le ultime spiagge con cui provare.
Detto ciò, non saprei cosa mettere come titolo del thread, e ringrazio nuovamente chiunque voglia e possa aiutarmi con gli esercizi che ho caricato e che caricherò, se ne avrò la possibilità.
Grazie di nuovo
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