Aiuto equazione esponenziale

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11 feb 2015, 11:28

Ciao! volevo chiedere un aiuto per un equazione esponenziale che non riesco a risolvere, o meglio, il risultato differisce da quello del libro.
L'equazione in questione è: $ (2^(x-1)rootx(5^(1-x)))/sqrt(10)= 5^(1+x) $

Vedendo che applicando i logaritmi diventava molto complicata io mi sono mosso elevando prima tutto al quadrato:
$ (2^(2x-2)*5^(2/3))/10=5^(2x+2 $

Poi tutto al cubo
$ (2^(6x-6)*5^(2))/10^3=5^(6x+6 $

A questo punto ho applicato i logaritmi
$ (6x-6)log2+2log5-3log10=(6x+6)log5 $

da cui:
$ 6x=(6log2-2log5+3log10+6log5)/(log2-log5) $

infine:
$ x=log64000/[6(log2-log5)] $

invece secondo il libro dovrebbe venire
$ (9-2log5)/[6(log2-log5) $

immagino che siano due modi di scrivere lo stesso numeratore ma non ho capito come ci si arriva e soprattutto perchè, dato che la mia soluzione, qualora fosse giusta, mi sembra più sintetica.

Risposte

mazzarri1

11 feb 2015, 10:37

ciao Okemberg!

C'è una cosa che proprio non mi torna ed è tra il primo e il secondo passaggio nel primo membro... quel
$root(x)(5^(1-x)$ non può diventare $5^(2/3)$ elevando al quadrato...
quindi uno dei due è sbagliato ma per aiutarti vorrei che tu ricontrollassi il testo dell'esercizio

Oppure, se trovi l'errore e vuoi proseguire da solo, ti consiglio di non elevare al cubo al terzo passaggio ma di notare che al denominatore hai un bellissimo $10$ che puoi pensare come $2X5$ il che ti aiuta moltissimo...

ciao!

Okemberg

11 feb 2015, 11:06

Porca miseria ho sbagliato a scrivere!!

Innanzitutto ciao mazzarri e grazie per la risposta

Il testo di partenza non è questo:
$ (2^(x-1)rootx(5^(1-x)))/sqrt(10)= 5^(1+x) $

bensì questo:
$ (2^(x-1)root3(5))/sqrt(10)= 5^(1+x) $

Devo aver copiaincollato qualcosa di troppo, chiedo scusa! Il resto viene di conseguenza. In ogni caso prendo atto del suggerimento che mi hai dato e tento di agire di conseguenza

mazzarri1

11 feb 2015, 12:00

OK

direi che allora puoi elevare al quadrato

$(2^(2x-2) 5^(2/3))/10=5^(2+2x)$

$(2^(2x-2))/2 (5^(2/3))/5=5^(2+2x)$

$2^(2x-3) 5^(-1/3)=5^(2+2x)$

e da qui continua tu... ciao!

PS: per inciso alla fine il risultato mi viene come era venuto a te togliendo quel log(10) cioè

$x=(9ln2+7ln5)/(6(ln2-ln5))$

Okemberg

11 feb 2015, 13:43

Risolvendo come mi hai consigliato ottengo il tuo stesso risultato, la cosa che non capisco è il risultato del libro che è:

$ x=(9-2ln5)/(6(ln2-ln5)) $

probabilmente sono due modi di scrivere la stessa cosa, non capisco però come ci arrivano, ammetto di non essere una cima...