Aiuto con questi 2 problemi di geometria analitica? Procedimento?
Per favore, ci terrei molto a capire il procedimento...
1) Sono date le rette r e s, di equazione r:8x+6y-75=0 e s:3x-4y=0, e la circonferenza C di equazione (x-2)^2 + (y-3/2)^2 = 25/4. Come posso determinare le equazioni delle circonferenze C1 e C2 che hanno il centro sulla retta s e sono tangenti sia a C sia alla retta r?
2) A(-2;4) e C(6;-2) sono due vertici opposti di un rettangolo ABCD.
In classe abbiamo ricavato l'equazione della circonferenza circoscritta al rettangolo --> (x-2)^2 +(y-1)^2=25 , e abbiamo anche trovato i vertici mancanti del rettangolo: B(-2;-2) e D(6;4), mettendo a sistema una retta passante per il centro (y=3/4x-1/2) con le tangenti perpendicolari alla retta s(t1 = -4/3x-14/3 ; t2 = -4/3x+12). Però adesso come posso completare le altre 2 richieste del problema?
-Determinare le coordinate di E, punto d'intersezione fra le tangenti al cerchio in A e in B.
-Trovare centro e raggio di una circonferenza passante per E e tangente agli assi cartesiani.
Grazie a tutti!
1) Sono date le rette r e s, di equazione r:8x+6y-75=0 e s:3x-4y=0, e la circonferenza C di equazione (x-2)^2 + (y-3/2)^2 = 25/4. Come posso determinare le equazioni delle circonferenze C1 e C2 che hanno il centro sulla retta s e sono tangenti sia a C sia alla retta r?
2) A(-2;4) e C(6;-2) sono due vertici opposti di un rettangolo ABCD.
In classe abbiamo ricavato l'equazione della circonferenza circoscritta al rettangolo --> (x-2)^2 +(y-1)^2=25 , e abbiamo anche trovato i vertici mancanti del rettangolo: B(-2;-2) e D(6;4), mettendo a sistema una retta passante per il centro (y=3/4x-1/2) con le tangenti perpendicolari alla retta s(t1 = -4/3x-14/3 ; t2 = -4/3x+12). Però adesso come posso completare le altre 2 richieste del problema?
-Determinare le coordinate di E, punto d'intersezione fra le tangenti al cerchio in A e in B.
-Trovare centro e raggio di una circonferenza passante per E e tangente agli assi cartesiani.
Grazie a tutti!
Risposte
Ecco a te, Rachels!
1) Disegniamo innanzi tutto i tre grafici assegnati, al fine di avere più chiara la situazione.
r: 8x+6y-75=0
per x =0 y= 25/2
per y =0 x = 75/8
La retta passa dunque per questi due punti: (0,25/2) e (75/8,0)
s:3x-4y=0
per x =0 y=0
per x = 1 y = 3/4
per x= -1 x = -3/4
La retta passa per questi tre punti: (0,0), (1,3/4), (-1,-3/4)
(x-2)^2 + (y-3/2)^2 = 25/4
L'equazione canonica di una circonferenza è la seguente:
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
La circonferenza ha dunque un raggio paria a 5/2.
Il centro ha invece coordinate (2,3/2).
Disegniamo i tre grafici grazie alle informazioni ottenute.
Occorre a questo punto disegnare due cironferenze che hanno centro sulla retta s, e tali da essere tangenti alla circonferenza e alla retta r.
Calcoliamo dunque dove la retta s e la retta r si tagliano a vicenda. Per farlo metto a sistema le due equazioni:
r: 8x+6y-75=0
s:3x-4y=0
y = 3/4 x
→8x + 6(3/4x) -75 =0
8x +9/2 x -75 =0
25/2 x -75=0
x = 75*2/25 = 6
→y = 3/4 x = 3/4 * 6 = 9/2
Vediamo adesso dove si tagliano la circonferenza e la retta s.
y = 3/4 x
(x-2)^2 + (y-3/2)^2 = 25/4
y = 3/4 x
x^2 +4 -4x +y^2 +9/4 -3y = 25/4 → x^2 -4x +y^2 -3y = 0
RISULTA: x^2 -4x +9/16x^2 -9/4x = 0
25/16 x^2 -25/4x = 0
1/4 x^2 -x =0
SOLUZIONE: x =0 oppure x =4
Dall'equazione della retta s, deve risulta y= 3/4*x = 0 oppure 3.
I punti trovati sono A(6,9/2), B(4,3) e C (0,0)
Calcoliamo la lunghezza del segmento A-B e del segmento A-C tramite la formula della distanza tra due punti:
La circonferenza C1 tangente alla prima circonferenza assegnata e alla retta r e tale da avere il centro sulla retta s passerà per i punti A e B calcolati, ed avrà un diametro pari a 5/2.
La circonferenza C2 tangente alla prima circonferenza assegnata e alla retta r e tale da avere il centro sulla retta s passerà invece per i punti A e C calcolati, ed avrà un diametro pari a 15/2 (conterrà dunque la prima circonferenza).
Queste tre condizioni (tre per ogni circonferenza: raggio e due punti ad essa appartenenti), inserite nella generica equazione delle cinconferenza...
Permettono di determinare i parametri a,b e c e quindi l'equazione desiderata sia per C1 che per C2.
Un attimo che adesso risolvo anche il secondo problema...
1) Disegniamo innanzi tutto i tre grafici assegnati, al fine di avere più chiara la situazione.
r: 8x+6y-75=0
per x =0 y= 25/2
per y =0 x = 75/8
La retta passa dunque per questi due punti: (0,25/2) e (75/8,0)
s:3x-4y=0
per x =0 y=0
per x = 1 y = 3/4
per x= -1 x = -3/4
La retta passa per questi tre punti: (0,0), (1,3/4), (-1,-3/4)
(x-2)^2 + (y-3/2)^2 = 25/4
L'equazione canonica di una circonferenza è la seguente:
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
La circonferenza ha dunque un raggio paria a 5/2.
Il centro ha invece coordinate (2,3/2).
Disegniamo i tre grafici grazie alle informazioni ottenute.
Occorre a questo punto disegnare due cironferenze che hanno centro sulla retta s, e tali da essere tangenti alla circonferenza e alla retta r.
Calcoliamo dunque dove la retta s e la retta r si tagliano a vicenda. Per farlo metto a sistema le due equazioni:
r: 8x+6y-75=0
s:3x-4y=0
y = 3/4 x
→8x + 6(3/4x) -75 =0
8x +9/2 x -75 =0
25/2 x -75=0
x = 75*2/25 = 6
→y = 3/4 x = 3/4 * 6 = 9/2
Vediamo adesso dove si tagliano la circonferenza e la retta s.
y = 3/4 x
(x-2)^2 + (y-3/2)^2 = 25/4
y = 3/4 x
x^2 +4 -4x +y^2 +9/4 -3y = 25/4 → x^2 -4x +y^2 -3y = 0
RISULTA: x^2 -4x +9/16x^2 -9/4x = 0
25/16 x^2 -25/4x = 0
1/4 x^2 -x =0
SOLUZIONE: x =0 oppure x =4
Dall'equazione della retta s, deve risulta y= 3/4*x = 0 oppure 3.
I punti trovati sono A(6,9/2), B(4,3) e C (0,0)
Calcoliamo la lunghezza del segmento A-B e del segmento A-C tramite la formula della distanza tra due punti:
[math]\sqrt{(6-4)^2 + (9/2 -3)^2} = \sqrt{2^2 + (3/2)^2} =\sqrt{4 + 9/4} =\sqrt{25/4} = 5/2 [/math]
[math]\sqrt{(6-0)^2 + (9/2 -0)^2} = \sqrt{6^2 + (9/2)^2} =\sqrt{36 + 81/4} =\sqrt{225/4} = 15/2 [/math]
La circonferenza C1 tangente alla prima circonferenza assegnata e alla retta r e tale da avere il centro sulla retta s passerà per i punti A e B calcolati, ed avrà un diametro pari a 5/2.
La circonferenza C2 tangente alla prima circonferenza assegnata e alla retta r e tale da avere il centro sulla retta s passerà invece per i punti A e C calcolati, ed avrà un diametro pari a 15/2 (conterrà dunque la prima circonferenza).
Queste tre condizioni (tre per ogni circonferenza: raggio e due punti ad essa appartenenti), inserite nella generica equazione delle cinconferenza...
[math]x^2 + y^2 -2by -2 by + c =0[/math]
Permettono di determinare i parametri a,b e c e quindi l'equazione desiderata sia per C1 che per C2.
Un attimo che adesso risolvo anche il secondo problema...
Grazie mille veramente!
Sono problemi dal procedimento abbastanza lungo e ti ringrazio tanto per il tuo aiuto! Dopo provo a risolverlo riguardandomi i passaggi =)
Sono problemi dal procedimento abbastanza lungo e ti ringrazio tanto per il tuo aiuto! Dopo provo a risolverlo riguardandomi i passaggi =)
Di niente Rachels, figurati! Ecco anche il secondo:
SECONDO PROBLEMA:
Le due rette cercate avranno questa equazione:
Prendiamo la prima. La prima retta passa per il punto A (-2,4). Dunque...
4 = -2m + n
n = (4+2m)
Inoltre la retta deve essere tangente alla circonferenza circoscritta al rettangolo. mettiamo duque a sistema le due equazioni.
Diventa:
Cioé:
Mettendo a sistema le due equazioni diviene:
Ricordando che avevano ottenuto che:
Si sostituisce nell'equazione, onde semplificarla.
Risolvo l'equazione ed impongo un determinante pari a 0 (condizione di tangenza tra circonferenza e retta).
Da questa equazione si ricava m.
Un procedimento analogo (che però, tralascio di riportarti) porta alla determinazione della seconda retta, stavolta passante per B e tangente alla circonferenza.
Trovate le due rette, è sufficiente metterle a sistema per determinare il punto E.
Vedimamo il secondo punto (te lo imposto solamente, Rachels, anche perchè vista l'ora, comincio a sentirmi un po' stanca, ma se avessi dei dubbi a riguardo, fammelo pure sapere domani e sarò felice di aiutarti ancora).
La circonferenza che cerchiamo ha generica equazione:
O se preferisci:
Gli assi hanno invece equazione:
La circonferenza deve essere tangente a ciascuna di queste due rette. metto dune a sistema:
E poi:
nel primo caso si ottiene:
nel secondo:
Non è necessario andare avanti risolvendo le due euazioni ottenute ed imponendo un delta pari a 0. Infatti possiamo avvalerci di una terza condizione: la circonferenza passa per il punto E (xe, ye).
L'equazione della circonferenza diventa dunque:
Abbiamo tre incongite (a,b,c) e tre equazioni:
)
Mettendo a sistema le tre equazioni, ecco determinati
Ecco fatto! Spero di aver chiarito i tuoi dubbi! Se avessi dei problemi a capire le soluzioni che ti ho postato, fammelo sapere, mi raccomando! Ciao!
SECONDO PROBLEMA:
Le due rette cercate avranno questa equazione:
[math]y = mx + n[/math]
[math]y' = m'x + n'[/math]
Prendiamo la prima. La prima retta passa per il punto A (-2,4). Dunque...
4 = -2m + n
n = (4+2m)
Inoltre la retta deve essere tangente alla circonferenza circoscritta al rettangolo. mettiamo duque a sistema le due equazioni.
[math]y = mx + n[/math]
[math](x-2)^2 +(y-1)^2=25 [/math]
Diventa:
[math]y = mx + n[/math]
[math]x^2 +4 -4x +y^2 +1 -2y = 25 [/math]
Cioé:
[math]y = mx + n[/math]
[math]x^2 -4x +y^2 -2y = 20 [/math]
Mettendo a sistema le due equazioni diviene:
[math]x^2 -4x + (mx +n)^2 -2 (mx +n) = 20 [/math]
[math]x^2 -4x + m^2x^2 + n^2 +2mnx -2mx -2n = 20 [/math]
[math]x^2 + m^2x^2 +2mnx -2mx -4x -2n + n^2 - 20 = 0 [/math]
[math](1 +m^2)x^2 + (2mn -2m -4)x + (-2n + n^2 - 20) = 0 [/math]
Ricordando che avevano ottenuto che:
[math]n = 4+2m[/math]
Si sostituisce nell'equazione, onde semplificarla.
[math](1 +m^2)x^2 + [2m*(4+2m) -2m -4]x + [-2* (4+2m) + (4+2m)^2 - 20) = 0 [/math]
[math](1 +m^2)x^2 + (8m +4m^2 -2m -4)x + (-8 -4m + 16 +4m^2 +16m - 20) = 0 [/math]
[math](1 +m^2)x^2 + (6m +4m^2 -4)x + (+4m^2 +12m - 12) = 0 [/math]
Risolvo l'equazione ed impongo un determinante pari a 0 (condizione di tangenza tra circonferenza e retta).
[math]Delta = b^2 -4ac = (6m +4m^2 -4)^2 -4* (1+m^2)(4m^2 +12 m -12) =0[/math]
[math](6m +4m^2 -4)^2 -4* (1+m^2)(4m^2 +12 m -12) =0[/math]
[math](36 m^2 +16m^4 +16 +48m^3 -48m -32m^2)[/math]
[math]-4* (4m^2 +12 m -12 +4m^4 +12m^3 -12m^2) = 0[/math]
[math](36 m^2 +16m^4 +16 +48m^3 -48m -32m^2) [/math]
[math]-4* (4m^2 +12 m -12 +4m^4 +12m^3 -12m^2)=0 [/math]
[math](4 m^2 +16m^4 +16 +48m^3 -48m) [/math]
[math]-4* (+12 m -12 +4m^4 +12m^3 -8m^2)=0 [/math]
[math]4 m^2 +16m^4 +16 +48m^3 -48m- 48m +48 -16m^4 -48 m^3 +32m^2 =0 [/math]
[math]36 m^2 -96 m +64 =0 [/math]
[math]9 m^2 - 24 m + 16 = 0[/math]
Da questa equazione si ricava m.
[math]Delta = 576 -4*(9*16) = 576 - 576 = 0[/math]
[math]m = 24/18 = 4/3[/math]
[math]n = 4 +2m = 4 +8/3 = 20/3 [/math]
Un procedimento analogo (che però, tralascio di riportarti) porta alla determinazione della seconda retta, stavolta passante per B e tangente alla circonferenza.
Trovate le due rette, è sufficiente metterle a sistema per determinare il punto E.
Vedimamo il secondo punto (te lo imposto solamente, Rachels, anche perchè vista l'ora, comincio a sentirmi un po' stanca, ma se avessi dei dubbi a riguardo, fammelo pure sapere domani e sarò felice di aiutarti ancora).
La circonferenza che cerchiamo ha generica equazione:
[math](x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2[/math]
O se preferisci:
[math]x^2 +y^2 -2ax -2by + c=0[/math]
Gli assi hanno invece equazione:
[math]x =0[/math]
e [math]y=0[/math]
La circonferenza deve essere tangente a ciascuna di queste due rette. metto dune a sistema:
[math]x =0[/math]
[math]x^2 +y^2 -2ax -2by + c=0[/math]
E poi:
[math]x =0[/math]
[math]x^2 +y^2 -2ax -2by + c=0[/math]
nel primo caso si ottiene:
[math]y^2 -2by + c =0[/math]
nel secondo:
[math]x^2 -2ax + c = 0[/math]
Non è necessario andare avanti risolvendo le due euazioni ottenute ed imponendo un delta pari a 0. Infatti possiamo avvalerci di una terza condizione: la circonferenza passa per il punto E (xe, ye).
L'equazione della circonferenza diventa dunque:
[math](xe)^2 + (ye)^2 -2a(xe) -2b(ye) + c=0[/math]
Abbiamo tre incongite (a,b,c) e tre equazioni:
[math]y^2 -2by + c =0[/math]
[math]x^2 -2ax + c = 0[/math]
[math](xe)^2 + (ye)^2 -2a(xe) -2b(ye + c=0[/math]
)
Mettendo a sistema le tre equazioni, ecco determinati
[math]a,b,c[/math]
.[math]C (a,b)[/math]
[math]r = radice di (a^2 +b^2 -c)[/math]
Ecco fatto! Spero di aver chiarito i tuoi dubbi! Se avessi dei problemi a capire le soluzioni che ti ho postato, fammelo sapere, mi raccomando! Ciao!
Grazie mille anche per il secondo!
Avrei delle domande per il primo però...
Ecco mi chiedevo, ma come mai abbiamo dovuto trovare i punti d'intersezione
tra la retta s con la retta r e tra la retta s con la circonferenza?
Poi, nel calcolare la lunghezza di AB e AC, il risultato che trovo non corrisponde al raggio soltanto perchè non ho le coordinate del centro? Quindi, distanza tra due punti sulla circonferenza = diametro?
Nella parte finale però non ho ben capito quali sono le condizioni da mettere a sistema, nel senso che non so le equazioni da prendere....
Grazie ancora =)
Aggiunto 1 ora 19 minuti più tardi:
Scusami, poi per il secondo, nella prima richiesta (trovare punto E...), è giusto che mi escano 2 valori di m (-2 e -1) per la retta passante per B?
Quale devo prendere in considerazione?
Avrei delle domande per il primo però...
Ecco mi chiedevo, ma come mai abbiamo dovuto trovare i punti d'intersezione
tra la retta s con la retta r e tra la retta s con la circonferenza?
Poi, nel calcolare la lunghezza di AB e AC, il risultato che trovo non corrisponde al raggio soltanto perchè non ho le coordinate del centro? Quindi, distanza tra due punti sulla circonferenza = diametro?
Nella parte finale però non ho ben capito quali sono le condizioni da mettere a sistema, nel senso che non so le equazioni da prendere....
Grazie ancora =)
Aggiunto 1 ora 19 minuti più tardi:
Scusami, poi per il secondo, nella prima richiesta (trovare punto E...), è giusto che mi escano 2 valori di m (-2 e -1) per la retta passante per B?
Quale devo prendere in considerazione?
Ciao, Rachels! Rispondo subito alle tue domande:
1)Come mai abbiamo dovuto trovare i punti d'intersezione
tra la retta s con la retta r e tra la retta s con la circonferenza?
Quello che il problema richiede è determinare l'equazione di due circonferenze. La loro equazione generica è:
Calcolare l'intersezione tra la retta r e la retta s, e poi ancora tra la retta s e la circonferenza ci permette di determinare due coppie di punti.
Ogni coppia ci permette di calcolare un segmento. Questo segmento è il diametro della circonferenza cercata.
Dividendo questo valore per due, ecco che si determina il raggio di ciascuna circonferenza.
Per completare le due equazioni mancano allora i due parametri a e b di ciascuna circonferenza, in quanto r è ormai noto.
Sappiamo che la prima circonferenza passa per A e per B. La seconda per A e per C. Questo lo sappiamo perchè, dovendo il loro centro stare sulla retta s, passare per questi punti è l'unico modo perchè esse siano anche tangenti a retta r e circonferenza.
Sostituire le coordinate di A e B nella prima equazione, e poi quelle di A e C nella seconda, permette di determinare i parametri a e b delle due circonferenze.
2) Poi, nel calcolare la lunghezza di AB e AC, il risultato che trovo non corrisponde al raggio soltanto perchè non ho le coordinate del centro?
AB e AC sono i due diametri delle circonferenza, non i due raggi.
Il centro delle due circonferenze non viene assegnato perchè, per poter rispettare le tre condizioni imposte (centro su s, tangenza con r e con la circonferenza), esso non può che trovarsi nella mezzeria di AB e di AC.
Se si trovasse in posizione differente, le circonferenze da determinare non potrebbero essere tangenti sia a retta che circonferenza: potrebbero esserlo solo ad una di esse (o r o C).
3) Nella parte finale però non ho ben capito quali sono le condizioni da mettere a sistema, nel senso che non so le equazioni da prendere....
Scriviamola in questo modo:
La quantità
Rimangono
Sostituisci dunque in questa equazione le coordinate del punto A, e ottieni una equazione con a e b come incongite.
Poi fai lo stesso con le coordinate di B, e trovi la seconda equazione.
Le due equazioni, messe a sistema, permettono di determinare a e b.
Fai lo stesso anche con la equazione della seconda circonferenza, sostituendo le coordinate di A e C.
Aggiunto 1 minuto più tardi:
Scusa non avevo letto l'ultima richiesta. Mmm...mi sembra un po' strano che escano due valori. Provo a fare il calcolo anch'io, e poi ti faccio sapere.
1)Come mai abbiamo dovuto trovare i punti d'intersezione
tra la retta s con la retta r e tra la retta s con la circonferenza?
Quello che il problema richiede è determinare l'equazione di due circonferenze. La loro equazione generica è:
[math](x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2[/math]
Calcolare l'intersezione tra la retta r e la retta s, e poi ancora tra la retta s e la circonferenza ci permette di determinare due coppie di punti.
Ogni coppia ci permette di calcolare un segmento. Questo segmento è il diametro della circonferenza cercata.
Dividendo questo valore per due, ecco che si determina il raggio di ciascuna circonferenza.
Per completare le due equazioni mancano allora i due parametri a e b di ciascuna circonferenza, in quanto r è ormai noto.
Sappiamo che la prima circonferenza passa per A e per B. La seconda per A e per C. Questo lo sappiamo perchè, dovendo il loro centro stare sulla retta s, passare per questi punti è l'unico modo perchè esse siano anche tangenti a retta r e circonferenza.
Sostituire le coordinate di A e B nella prima equazione, e poi quelle di A e C nella seconda, permette di determinare i parametri a e b delle due circonferenze.
2) Poi, nel calcolare la lunghezza di AB e AC, il risultato che trovo non corrisponde al raggio soltanto perchè non ho le coordinate del centro?
AB e AC sono i due diametri delle circonferenza, non i due raggi.
Il centro delle due circonferenze non viene assegnato perchè, per poter rispettare le tre condizioni imposte (centro su s, tangenza con r e con la circonferenza), esso non può che trovarsi nella mezzeria di AB e di AC.
Se si trovasse in posizione differente, le circonferenze da determinare non potrebbero essere tangenti sia a retta che circonferenza: potrebbero esserlo solo ad una di esse (o r o C).
3) Nella parte finale però non ho ben capito quali sono le condizioni da mettere a sistema, nel senso che non so le equazioni da prendere....
Scriviamola in questo modo:
[math](x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2[/math]
[math]x^2 +a^2 -2ax + y^2 + b^2 -2yb = r^2[/math]
La quantità
[math]r^2[/math]
è nota, giacchè calcolata.Rimangono
[math]a[/math]
e [math]b[/math]
da determinare.Sostituisci dunque in questa equazione le coordinate del punto A, e ottieni una equazione con a e b come incongite.
Poi fai lo stesso con le coordinate di B, e trovi la seconda equazione.
Le due equazioni, messe a sistema, permettono di determinare a e b.
Fai lo stesso anche con la equazione della seconda circonferenza, sostituendo le coordinate di A e C.
Aggiunto 1 minuto più tardi:
Scusa non avevo letto l'ultima richiesta. Mmm...mi sembra un po' strano che escano due valori. Provo a fare il calcolo anch'io, e poi ti faccio sapere.
Oky grazie mille, penso di aver capito =)
Scusami, e per l'altra domanda (l'ho aggiunta più tardi)?
Aggiunto 39 secondi più tardi:
Ah oky perfetto, ho visto adesso, Grazie!
Aggiunto 5 minuti più tardi:
Quindi per trovare il raggio delle 2 circonferenze, devo prendere il diametro di ognuna e fare diviso 2? O devo prendere quello della circonferenza già nota?
Scusami, e per l'altra domanda (l'ho aggiunta più tardi)?
Aggiunto 39 secondi più tardi:
Ah oky perfetto, ho visto adesso, Grazie!
Aggiunto 5 minuti più tardi:
Quindi per trovare il raggio delle 2 circonferenze, devo prendere il diametro di ognuna e fare diviso 2? O devo prendere quello della circonferenza già nota?
Esatto: occorre dividere per due le distanze AB e AC.
La circonferenza nota non ci interessa da questo punto di vista.
Riguardo poi la tua ultima domanda, ecco la soluzione, Rachels:
La seconda retta (quella passante per B) ha equazione generica:
Essa passa per il punto B (-2,-2). Dunque...
(Per semplicità tolgo il segno "
La retta deve essere anche tangente alla circonferenza circoscritta al rettangolo. Mettiamo dunque a sistema le due equazioni.
Diventa:
Cioé:
Mettendo a sistema le due equazioni diviene:
Ricordando che avevano ottenuto che:
Si sostituisce dunque nell'equazione, che risulta semplificata.
Risolvo l'equazione ed impongo un determinante pari a 0 (condizione di tangenza tra circonferenza e retta).
Come vedi, l'equazione è simile a quella ottenuta precedentemente, a meno di un segno.
Da questa equazione si ricava m.
Fine! Spero di aver chiarito i tuoi dubbi! Ciao!
La circonferenza nota non ci interessa da questo punto di vista.
Riguardo poi la tua ultima domanda, ecco la soluzione, Rachels:
La seconda retta (quella passante per B) ha equazione generica:
[math]y' = m'x + n'[/math]
Essa passa per il punto B (-2,-2). Dunque...
[math]-2 = -2m' + n'[/math]
[math]n' = (2m'-2)[/math]
(Per semplicità tolgo il segno "
[math]'[/math]
" da [math]m'[/math]
e [math]n'[/math]
ma è chiaro che non sono gli stessi coefficienti [math]m[/math]
ed [math]n[/math]
trovati per la prima retta)La retta deve essere anche tangente alla circonferenza circoscritta al rettangolo. Mettiamo dunque a sistema le due equazioni.
[math]y = mx + n[/math]
[math](x-2)^2 +(y-1)^2=25 [/math]
Diventa:
[math]y = mx + n[/math]
[math]x^2 +4 -4x +y^2 +1 -2y = 25 [/math]
Cioé:
[math]y = mx + n[/math]
[math]x^2 -4x +y^2 -2y = 20 [/math]
Mettendo a sistema le due equazioni diviene:
[math]x^2 -4x + (mx +n)^2 -2 (mx +n) = 20 [/math]
[math]x^2 -4x + m^2x^2 + n^2 +2mnx -2mx -2n = 20 [/math]
[math]x^2 + m^2x^2 +2mnx -2mx -4x -2n + n^2 - 20 = 0 [/math]
[math](1 +m^2)x^2 + (2mn -2m -4)x + (-2n + n^2 - 20) = 0 [/math]
Ricordando che avevano ottenuto che:
[math]n = 2m -2[/math]
Si sostituisce dunque nell'equazione, che risulta semplificata.
[math](1 +m^2)x^2 + [2m*(2m-2) -2m -4]x + [-2*(2m-2) + (2m-2) ^2 - 20] = 0 [/math]
[math](1 +m^2)x^2 + (4m^2 -4m -2m -4)x + (-4m +4 + 4m^2 +4 -8m - 20) = 0 [/math]
[math](1 +m^2)x^2 + (4m^2 -6 m -4)x + (-12m + 4m^2 - 12) = 0 [/math]
Risolvo l'equazione ed impongo un determinante pari a 0 (condizione di tangenza tra circonferenza e retta).
[math]Delta = b^2 -4ac = (4m^2 -6m -4)^2 -4* (1+m^2)(4m^2 -12 m -12) =0[/math]
[math](16m^4 +36m^2 +16 -48m^3 -32m^2 +48m)[/math]
[math]-4* (4m^2 -12 m -12 +4m^4 -12m^3 -12m^2) = 0[/math]
[math](16m^4 +4m^2 +16 -48m^3 +48m)[/math]
[math]-4* (-12 m -12 +4m^4 -12m^3 -8m^2) = 0[/math]
[math]16m^4 +4m^2 +16 -48m^3 +48m + 48m +48 -16m^4 +48 m^3 +32 m^2 =0 [/math]
[math] +4m^2 +16 +48m + 48m +48 +32 m^2 =0 [/math]
[math] +36m^2 +96 m +64 =0 [/math]
Come vedi, l'equazione è simile a quella ottenuta precedentemente, a meno di un segno.
[math]9 m^2 + 24 m + 16 = 0[/math]
Da questa equazione si ricava m.
[math]Delta = 576 -4*(9*16) = 576 - 576 = 0[/math]
[math]m = -24/18 = -4/3[/math]
[math]n = 2m-2 = -8/3 -2 = -14/3 [/math]
Fine! Spero di aver chiarito i tuoi dubbi! Ciao!
Ah ecco grazie, ho sbagliato io nella moltiplicazione,invece di 36m^2 mi era uscito 32m^2....Grazie ancora!
E per le equazioni delle circonferenze passanti per A e B, ê giusto mettere a sistema: a^2 +b^2-12a-9b+225/4=25/16 e a^2 +b^2-8a-6b+25=25/16? Solo che mi chiedevo, visto che devo trovare a e b, ma ho i quadrati delle incognite, che metodo posso utilizzare per eliminarli? Ho provato facendo la sottrazione tra le 2 equazioni, ma così mi ritrovo un'equazione con 2 incognite...
E per le equazioni delle circonferenze passanti per A e B, ê giusto mettere a sistema: a^2 +b^2-12a-9b+225/4=25/16 e a^2 +b^2-8a-6b+25=25/16? Solo che mi chiedevo, visto che devo trovare a e b, ma ho i quadrati delle incognite, che metodo posso utilizzare per eliminarli? Ho provato facendo la sottrazione tra le 2 equazioni, ma così mi ritrovo un'equazione con 2 incognite...
Io personalmente mi trovo molto bene ad utilizzare sempre il metodo della sostituzione oppure del confronto. Ora ti mostro cosa intendo.
Si sono ottenute, come dicevi anche tu, le seguenti equazioni:
Posso scrivere allora:
Diviene:
Prendo una delle due equazioni (ad esempio la seconda), e ci inserisco questo risultato appena trovato.
E così anche per l'altra circonferenza.
Si sono ottenute, come dicevi anche tu, le seguenti equazioni:
[math] 225/4 + a^2 -12 a +b^2 -9b = 25/16[/math]
[math] 25 + a^2 -8 a +b^2 -6b = 25/16[/math]
Posso scrivere allora:
[math] 225/4 + a^2 -12 a +b^2 -9b = 25 + a^2 -8 a +b^2 -6b [/math]
Diviene:
[math] 225/4 -12 a -9b = 25 -8 a -6b [/math]
[math]-4a -3b + 125/4 = 0[/math]
[math]-4a = 3b -125/4[/math]
[math]a = -3/4 b +125/16[/math]
Prendo una delle due equazioni (ad esempio la seconda), e ci inserisco questo risultato appena trovato.
[math] 25 + a^2 -8 a +b^2 -6b = 25/16[/math]
[math] 25 + (-3/4 b +125/16)^2 -8 (-3/4 b + 125/16) +b^2 -6b = 25/16[/math]
[math] 25 + (9/16b^2 + 15625/256 -375b/32) +6 b - 125/2 +b^2 -6b = 25/16[/math]
[math] 25/16b^2 -375/32 b + 5625/256 = 0 [/math]
[math] 25b^2 -375/2 b + 5625/16 = 0 [/math]
[math] b^2 -15/2 b + 225/16 = 0 [/math]
[math]Delta = 225/4 -4*225/16 = 0[/math]
[math]b = +15/2/2 = 15/4[/math]
[math]a = -3/4 b + 125/16 = -45/16 +125/16 = 80/16 = 5[/math]
E così anche per l'altra circonferenza.
Ti ringrazio veramente tanto, non ci sarei mai riuscita senza il tuo aiuto!
Grazie di tutto =)
Aggiunto 39 minuti più tardi:
Scusami, potrei permettermi di chiederti un'ultima cosa riguardo al problema 2, seconda richiesta?
Per le condizioni da mettere a sistema, una condizione l'ho fatta un po' diversa dalla tua...Io di solito, come formula generica di una circonferenza, uso x^2 +y^2 +ax + by +c=0
Quindi ho messo a sistema:
y^2 +by+c=0
x^2 +ax+c=0
-17/4a+b+c+305/16=0
Però ho il solito problema di come risolvere per ricavare a,b,c...
Ho provato a ricavare c=-y^2-by, l'ho sostituita nella 2a e nella 3a, e le ho messe a confronto. Solo che poi arrivo ad un punto in cui non riesco più ad andare avanti, perchè mi ritrovo ancora con tutte le incognite...Dove sbaglio? Grazie!
Grazie di tutto =)
Aggiunto 39 minuti più tardi:
Scusami, potrei permettermi di chiederti un'ultima cosa riguardo al problema 2, seconda richiesta?
Per le condizioni da mettere a sistema, una condizione l'ho fatta un po' diversa dalla tua...Io di solito, come formula generica di una circonferenza, uso x^2 +y^2 +ax + by +c=0
Quindi ho messo a sistema:
y^2 +by+c=0
x^2 +ax+c=0
-17/4a+b+c+305/16=0
Però ho il solito problema di come risolvere per ricavare a,b,c...
Ho provato a ricavare c=-y^2-by, l'ho sostituita nella 2a e nella 3a, e le ho messe a confronto. Solo che poi arrivo ad un punto in cui non riesco più ad andare avanti, perchè mi ritrovo ancora con tutte le incognite...Dove sbaglio? Grazie!
Non ti preoccupare, Rachels! Ti aiuto subito.
Temo di averti indirizzato male io: ti ho scritto che non era necessario risolvere le due equazioni, quando in realtà mi rendo conto che non ci sono altre soluzioni.
Per farmi perdonare, ecco a te la soluzione:
Abbiamo queste tre equazioni:
Risolviamo la prima, per trovare dove la circonferenza taglia l'asse y (infatti essa è stata ricavata mettendo a sistema la circonferenza con x=0).
Occorre ricordarsi di porre un delta pari a 0 8condizione di tangenza):
y= -b/2
x =0
Risolviamo la seconda, per trovare dove la circonferenza taglia l'asse x (infatti essa è stata ricavata mettendo a sistema la circonferenza con y=0).
Occorre ricordarsi di porre un delta pari a 0 8condizione di tangenza):
Abbiamo trovato 3 punti per cui passa la circonferenza.
Uno è E e gli altri sono (-a/2, 0) e (0,-b/2).
Sappiamo però, dal delta che, a=b.
Quindi i punti sono E, (-a/2,0) e (0,-a/2).
Sostituiamo queste coordinate nell'equazione:
Le coordinate dei tre punti inserite volta volta ti faranno ottenere tre equazioni, che ti porteranno alla soluzione.
Temo di averti indirizzato male io: ti ho scritto che non era necessario risolvere le due equazioni, quando in realtà mi rendo conto che non ci sono altre soluzioni.
Per farmi perdonare, ecco a te la soluzione:
Abbiamo queste tre equazioni:
[math]y^2 +by+c=0[/math]
[math]x^2 +ax+c=0[/math]
[math]-17/4a+b+c+305/16=0[/math]
Risolviamo la prima, per trovare dove la circonferenza taglia l'asse y (infatti essa è stata ricavata mettendo a sistema la circonferenza con x=0).
Occorre ricordarsi di porre un delta pari a 0 8condizione di tangenza):
[math]Delta = b^2 -4c = 0[/math]
[math]4c = b^2[/math]
[math]c = b^2/4[/math]
y= -b/2
x =0
Risolviamo la seconda, per trovare dove la circonferenza taglia l'asse x (infatti essa è stata ricavata mettendo a sistema la circonferenza con y=0).
Occorre ricordarsi di porre un delta pari a 0 8condizione di tangenza):
[math]Delta = a^2 -4c = 0[/math]
[math]4c = a^2[/math]
[math]c = a^2/4[/math]
[math]x= -a/2[/math]
[math]y =0[/math]
Abbiamo trovato 3 punti per cui passa la circonferenza.
Uno è E e gli altri sono (-a/2, 0) e (0,-b/2).
Sappiamo però, dal delta che, a=b.
Quindi i punti sono E, (-a/2,0) e (0,-a/2).
Sostituiamo queste coordinate nell'equazione:
[math](x-a)^2 + (x-b)^2 = r^2[/math]
Le coordinate dei tre punti inserite volta volta ti faranno ottenere tre equazioni, che ti porteranno alla soluzione.
Oky, grazie mille ancora, dopo provo!
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