Aiuto con espressioni a polinomi fratti
Ciao a tutti: Le espressioni tra polinomi fratti come si svolgono esattamente?
${[(a^3-ab^2)/(a^2+2ab+b^2)]*[(ab+2b)/(a^2b-ab^2)]}/[(a^2+2a)/(a^2+ab+a+b)]$
Qualche idea io ce l'ho, l'ho anche già svolta, ma credo che l'enorme risultato è un errore. Chi mi aiuta per favore?
${[(a^3-ab^2)/(a^2+2ab+b^2)]*[(ab+2b)/(a^2b-ab^2)]}/[(a^2+2a)/(a^2+ab+a+b)]$
Qualche idea io ce l'ho, l'ho anche già svolta, ma credo che l'enorme risultato è un errore. Chi mi aiuta per favore?
Risposte
basta fare i conti, prima di tutto io porterei tutto sulla riga giusta, evitando frazioni di frazioni
$((a^3-ab^2)(ab+2b)(a^2+ab+a+b))/((a^2+2ab+b^2)(a^2b-ab^2)(a^2+2a))$
da qui raccogli tutto quello che puoi dove puoi e rimane $(a(a^2-b^2)b(a+2)(a^2+ab+a+b))/((a^2+2ab+b^2) ab(a-b)a(a+2))$
ora sfrutti tre proprietà:
1. $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
2. $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
3. un po' più difficile da vedere: $a^2+ab+a+b=a(a+1)+b(a+1)=(a+1)(a+b)$
adesso ottieni numeratore e denominatore semplici, molto si semplifica.
A me viene alla fine $(a+1)/a$
$((a^3-ab^2)(ab+2b)(a^2+ab+a+b))/((a^2+2ab+b^2)(a^2b-ab^2)(a^2+2a))$
da qui raccogli tutto quello che puoi dove puoi e rimane $(a(a^2-b^2)b(a+2)(a^2+ab+a+b))/((a^2+2ab+b^2) ab(a-b)a(a+2))$
ora sfrutti tre proprietà:
1. $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
2. $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
3. un po' più difficile da vedere: $a^2+ab+a+b=a(a+1)+b(a+1)=(a+1)(a+b)$
adesso ottieni numeratore e denominatore semplici, molto si semplifica.
A me viene alla fine $(a+1)/a$
Ciao blackbishop13, ma cosa e come semplifichi esattamente una volta che hai sistemato il tutto come mi hai mostrato? Il mio programma di studi del primo anno effettivamente omette i polinomi fratti altri polinomi. Ho provato intuitivamente, ma non ho conferme che sia giusto il mio metodo.
Grazie anticipatamente e buone feste a tutti voi.
Grazie anticipatamente e buone feste a tutti voi.
Dati quattro polinomi [tex]P(x), Q(x), R(x), S(x)[/tex] e le frazioni polinomiali [tex]\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}, \frac{R(x)}{S(x)}[/tex] il rapporto tra le due frazioni, i.e. [tex]\displaystyle \frac{\frac{P(x)}{Q(x)}}{\frac{R(x)}{S(x)}}[/tex], è il prodotto tra la prima frazione ed il reciproco della seconda, i.e. [tex]\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}\cdot\frac{R(x)}{S(x)}[/tex].
In altri termini, operativamente, ci si comporta esattamente come ci si comporta con gli elementi di forma frazionaria di [tex]\mathbb{R}[/tex]. Ovviamente ci sono alcuni accorgimenti da apportare: occorre chiarire quando i polinomi [tex]Q(x), S(x)[/tex] sono [tex]\neq 0[/tex], perché altrimenti non potrebbero essere usati come denominatori delle frazioni, ed occorre scomporre i polinomi [tex]P(x)\cdot Q(x)[/tex] e [tex]R(x)\cdot S(x)[/tex] per potere poi "semplificare" la frazione finale.
Questo è, grossomodo, il modo di procedere in generale.
Prova a effettuare tutti i passaggi usando queste indicazioni e vediamo cosa occorre correggere.
In altri termini, operativamente, ci si comporta esattamente come ci si comporta con gli elementi di forma frazionaria di [tex]\mathbb{R}[/tex]. Ovviamente ci sono alcuni accorgimenti da apportare: occorre chiarire quando i polinomi [tex]Q(x), S(x)[/tex] sono [tex]\neq 0[/tex], perché altrimenti non potrebbero essere usati come denominatori delle frazioni, ed occorre scomporre i polinomi [tex]P(x)\cdot Q(x)[/tex] e [tex]R(x)\cdot S(x)[/tex] per potere poi "semplificare" la frazione finale.
Questo è, grossomodo, il modo di procedere in generale.
Prova a effettuare tutti i passaggi usando queste indicazioni e vediamo cosa occorre correggere.
Ad esempio non capisco come $[a·(a^2 - b^2)]/[a^2 + 2·a·b + b^2]$ possa dare $a·(a - b)/(a + b)$
chiaramente ho usato derive per potervi scrivere la parte semplificata, ma con derive, che avrebbe potuto stimolare la mia intuizione non ho fatto alcun progressoquesta volta. Mi spieghereste come si procede? Non saprei bene nemmeno come semplificare. Ad esempio so che se mi trovo di fronte a qualcosa del tipo $(6a^2bc)/(3abc)$ si ottiene $2a$ perché divido i coefficenti e poi sottraggo i vari esponenti.
Adesso io so che in questa frazione polinominale così come l'ha semplificata blackbishop13 ho 3 polinomi al numeratore e 3 al denominatore (diversi da zero).
Se i tre polinomi al numeratore posso chiamarli A, B e C, al denominatore dovrei avere i corrispondenti A1, B1 e C1. Io ho cercato di semplificare ad esempio A con A1, ovvero questo esatto esempio, che vado a ripescare: $[a·(a^2 - b^2)]/[a^2 + 2·a·b + b^2]$ a sua volta moltiplicato per $[B/(B1)]*[C/(C1)}$
Il problema è che a me non viene $a·(a - b)/(a + b)$, ma $a/(2ab)$.
Per favore, sul serio, chiaritemi una volta per tutte così comincio a studiare le funzioni.
chiaramente ho usato derive per potervi scrivere la parte semplificata, ma con derive, che avrebbe potuto stimolare la mia intuizione non ho fatto alcun progressoquesta volta. Mi spieghereste come si procede? Non saprei bene nemmeno come semplificare. Ad esempio so che se mi trovo di fronte a qualcosa del tipo $(6a^2bc)/(3abc)$ si ottiene $2a$ perché divido i coefficenti e poi sottraggo i vari esponenti.
Adesso io so che in questa frazione polinominale così come l'ha semplificata blackbishop13 ho 3 polinomi al numeratore e 3 al denominatore (diversi da zero).
Se i tre polinomi al numeratore posso chiamarli A, B e C, al denominatore dovrei avere i corrispondenti A1, B1 e C1. Io ho cercato di semplificare ad esempio A con A1, ovvero questo esatto esempio, che vado a ripescare: $[a·(a^2 - b^2)]/[a^2 + 2·a·b + b^2]$ a sua volta moltiplicato per $[B/(B1)]*[C/(C1)}$
Il problema è che a me non viene $a·(a - b)/(a + b)$, ma $a/(2ab)$.
Per favore, sul serio, chiaritemi una volta per tutte così comincio a studiare le funzioni.
Vediamo un poco.
Hai [tex]\displaystyle \frac{a\cdot(a^{2}-b^{2})}{a^{2}+2ab+b^{2}}[/tex]. In questo caso la una sola frazione, il prodotto di un monomio per un binomio al numeratore ed al denominatore un trinomio. La prima cosa da fare è cercare, se possibile, di fattorizzare numeratore e denominatore. Il numeratore si scompone in [tex]a\cdot(a-b)\cdot(a+b)[/tex], perché [tex]a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)[/tex], mentre il denominatore diventa [tex](a+b)^{2}[/tex], essendo [tex]a^{2}+2ab+b^{2}[/tex] il quadrato del binomio [tex]a+b[/tex]. Allora la frazione iniziale diventa [tex]\displaystyle \frac{a(a-b)(a+b)}{(a+b)^{2}}[/tex]. A questo punto per semplificare devi "eliminare" i polinomi che si presentano in ambo i termini della frazione, ovviamente tenendo conto degli esponenti: quindi [tex](a+b)[/tex] al numeratore di semplifica con [tex](a+b)^{2}[/tex] al denominatore e poiché quest'ultimo ha un esponente [tex]2[/tex], questo viene diminuito dall'esponente (sottointeso) [tex]1[/tex] di [tex](a+b)[/tex] al numeratore, ottenendo [tex]\displaystyle \frac{a(a-b)}{(a+b)}[/tex]. Infine Derive mette semplicemente davanti alla linea di frazione il fattore [tex]a[/tex].
Prova adesso con l'altra.
Hai [tex]\displaystyle \frac{a\cdot(a^{2}-b^{2})}{a^{2}+2ab+b^{2}}[/tex]. In questo caso la una sola frazione, il prodotto di un monomio per un binomio al numeratore ed al denominatore un trinomio. La prima cosa da fare è cercare, se possibile, di fattorizzare numeratore e denominatore. Il numeratore si scompone in [tex]a\cdot(a-b)\cdot(a+b)[/tex], perché [tex]a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)[/tex], mentre il denominatore diventa [tex](a+b)^{2}[/tex], essendo [tex]a^{2}+2ab+b^{2}[/tex] il quadrato del binomio [tex]a+b[/tex]. Allora la frazione iniziale diventa [tex]\displaystyle \frac{a(a-b)(a+b)}{(a+b)^{2}}[/tex]. A questo punto per semplificare devi "eliminare" i polinomi che si presentano in ambo i termini della frazione, ovviamente tenendo conto degli esponenti: quindi [tex](a+b)[/tex] al numeratore di semplifica con [tex](a+b)^{2}[/tex] al denominatore e poiché quest'ultimo ha un esponente [tex]2[/tex], questo viene diminuito dall'esponente (sottointeso) [tex]1[/tex] di [tex](a+b)[/tex] al numeratore, ottenendo [tex]\displaystyle \frac{a(a-b)}{(a+b)}[/tex]. Infine Derive mette semplicemente davanti alla linea di frazione il fattore [tex]a[/tex].
Prova adesso con l'altra.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo