Aiuto circonferenza (32845)

[Ayumi92]

Determinare r in modo che la circonferenza x^2+y^2=r^2 stacchi sulla retta y=x-1 la corda di misura 6.
R. r^2=19/2


grazie

[BIT5]

Mettiamo a sistema la retta con la circonferenza, al fine di trovare i punti (generici) di intersezione

[math] \{y=x-1 \\ x^2+y^2=r^2 [/math]

da cui, sostituendo la prima nella seconda

[math] \{y=x-1 \\ x^2+(x-1)^2=r^2 [/math]

porto avanti la seconda...

[math] x^2+x^2-2x+1=r^2 \\ 2x^2-2x+1-r^2=0 [/math]

risolvo l'equazione di secondo grado, utilizzando la formula ridotta

[math] x_{1,2}= \frac{1 \pm \sqrt{1-2+2r^2}}{2} [/math]

da cui

[math] x_1= \frac{1+ \sqrt{2r^2-1}}{2} [/math]

e

[math] x_2= \frac{1- \sqrt{2r^2-1}}{2} [/math]

i punti di intersezione, ricordando che l'ordinata dei punti è

[math]x-1 [/math]

perchè appartengono alla retta, saranno

[math] y_1= x_1-1 = \frac{1+ \sqrt{2r^2-1}}{2} -1 [/math]

e

[math] y_2= x_2-1 = \frac{1- \sqrt{2r^2-1}}{2} -1 [/math]

Ricordando che la distanza tra i due punti è 6

[math] \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=6 [/math]

Per comodità pongo il valore

[math] \frac{ \sqrt{2r^2-1}}{2}=t [/math]

altrimenti non finisco più di scrivere!!

[math] \sqrt{(1/2 + t - (1/2 - t))^2+ (1/2+t-1-(1/2-t-1))^2}=6 [/math]

[math] \sqrt{(1/2+t-1/2+t)^2+(1/2+t-1-1/2+t+1)^2}=6 [/math]

[math] \sqrt{4t^2+4t^2}=6 [/math]

[math] 2t \sqrt{2}=6 [/math]

[math] t= \frac{3}{ \sqrt{2}}= \frac{3 \sqrt{2}}{2}[/math]

Pertanto

[math] \frac{ \sqrt{2r^2-1}}{2}= \frac{3 \sqrt{2}}{2} [/math]

[math] \sqrt{2r^2-1}= 3 \sqrt{2} [/math]

elevo al quadrato entrambi i membri

[math] 2r^2-1= 18 [/math]

[math] 2r^2=19 \to r^2= 19/2 [/math]

La circonferenza, pertanto, sarà

[math] x^2+y^2=19/2 \to 2x^2+2y^2=19 [/math]