Aiuto
Date le disequazioni ridotte in forma normale
$ax^2+bx+c>0$ e $ax^2+bx+c<0$ ,$a>0$
Come spieghereste ad un ragazzo di secondo/terzo anno di liceo scientifico (senza il metodo grafico della parabola) il fatto che se $Delta<0$
la prima è soddisfatta $AAx in RR$ mentre la seconda non ammette soluzioni?
$ax^2+bx+c>0$ e $ax^2+bx+c<0$ ,$a>0$
Come spieghereste ad un ragazzo di secondo/terzo anno di liceo scientifico (senza il metodo grafico della parabola) il fatto che se $Delta<0$
la prima è soddisfatta $AAx in RR$ mentre la seconda non ammette soluzioni?
Risposte
A me viene in mente questa proposta di routine,
a una prima occhiata.
Moltiplico per 4a (>0) i due membri della prima
disequazione e trovo:
4a²x²+4abx+4ac > 0
poi aggiungo e tolgo b² a sinistra, ottenendo:
(2ax+b)²+4ac-b² > 0.
Poiché 4ac-b² > 0, tutta l'espressione (2ax+b)²+4ac-b²
non è mai negativa o nulla in R, quindi ax²+bx+c > 0
è sempre verificata.
Questo dimostra che ax²+bx+c < 0, rispetto alle
stesse condizioni (b²-4ac < 0 e a > 0), non ha
soluzioni in R.
Salvo sviste.
Cosa dici, Enea, potrebbe andare?
a una prima occhiata.
Moltiplico per 4a (>0) i due membri della prima
disequazione e trovo:
4a²x²+4abx+4ac > 0
poi aggiungo e tolgo b² a sinistra, ottenendo:
(2ax+b)²+4ac-b² > 0.
Poiché 4ac-b² > 0, tutta l'espressione (2ax+b)²+4ac-b²
non è mai negativa o nulla in R, quindi ax²+bx+c > 0
è sempre verificata.
Questo dimostra che ax²+bx+c < 0, rispetto alle
stesse condizioni (b²-4ac < 0 e a > 0), non ha
soluzioni in R.
Salvo sviste.
Cosa dici, Enea, potrebbe andare?
Il Delta o discriminante è utilizzato per calcolare in che punti l'equazione $ax^2+bx+c$ sia uguale a zero, ossia per quali valori della $x$ risulti $y=0$...è evidente che se si ha $Delta<0$ non esistono valori di $x$ appartenenti all'insieme dei numeri Reali per i quali $y=0$...questo cosa significa? ...che la nostra equazione ammette solo valori o positivi o negativi di $y$, ma non valendo mai $y=0$ siamo sicuri che non ammette sia valori positivi che negativi di $y$.
Ora per determinare quali valori di $y$ ammette si procede ad esempio ponendo $x=0$ otterremo così $y=1$, dunque essendo $y$ positiva ed essendo sicuri che non vale mai zero, possiamo tranquillamente dire che la nostra equazione è sempre positiva.....quindi che $ax^2+bx+c>0$ per qualsiasi valore di $x$, ovviamente (essendo sempre positiva) questo implica che $ax^2+bx+c<0$ non ammette soluzioni.
Ciao
Alexp
Ora per determinare quali valori di $y$ ammette si procede ad esempio ponendo $x=0$ otterremo così $y=1$, dunque essendo $y$ positiva ed essendo sicuri che non vale mai zero, possiamo tranquillamente dire che la nostra equazione è sempre positiva.....quindi che $ax^2+bx+c>0$ per qualsiasi valore di $x$, ovviamente (essendo sempre positiva) questo implica che $ax^2+bx+c<0$ non ammette soluzioni.
Ciao
Alexp
Ti propongo 3 metodi di cui l'ultimo sottilmente piu' difficile
1)si puo' scrivere cosi':
$f(x)=ax^2+bx+c=a[(x+b/(2a))^2+(-Delta)/(4a^2)]$
da cui e' facile dedurre,per le condizioni poste,che si tratta di una quantita'
positiva per qualsiasi valore reale di x .
2)Poiche' per ipotesi le radici sono immaginarie (coniugate) sara':
$x_(1,2)=alpha+-jbeta$ e dunque:
$ax^2+bx+c=a(x-alpha-jbeta)(x-alpha+jbeta)=a[(x-alpha)^2+beta^2]$
e si conclude come prima .
3)poiche' le radici sono immaginarie il trinomio non si annulla per nessun valore
reale di x e quindi esso o e' sempre positivo o sempre negativo.
Per scegliere tra i due segni,dato che $Delta<0,a>0$ ,deve essere
necessariamente c>0.Ma allora f(0)=c>0 e pertanto f(x) e' sempre positivo
(per ogni x reale).
karl
1)si puo' scrivere cosi':
$f(x)=ax^2+bx+c=a[(x+b/(2a))^2+(-Delta)/(4a^2)]$
da cui e' facile dedurre,per le condizioni poste,che si tratta di una quantita'
positiva per qualsiasi valore reale di x .
2)Poiche' per ipotesi le radici sono immaginarie (coniugate) sara':
$x_(1,2)=alpha+-jbeta$ e dunque:
$ax^2+bx+c=a(x-alpha-jbeta)(x-alpha+jbeta)=a[(x-alpha)^2+beta^2]$
e si conclude come prima .
3)poiche' le radici sono immaginarie il trinomio non si annulla per nessun valore
reale di x e quindi esso o e' sempre positivo o sempre negativo.
Per scegliere tra i due segni,dato che $Delta<0,a>0$ ,deve essere
necessariamente c>0.Ma allora f(0)=c>0 e pertanto f(x) e' sempre positivo
(per ogni x reale).
karl
Grazie a tutti. 
@alexp
perchè ponendo $x=0$ si ottiene $y=1$?
perchè ponendo $x=0$ si ottiene $y=1$?
"Alexp":
Ora per determinare quali valori di $y$ ammette si procede ad esempio ponendo $x=0$ otterremo così $y=1$, dunque essendo $y$ positiva ed essendo sicuri che non vale mai zero, possiamo tranquillamente dire che la nostra equazione è sempre positiva.....quindi che $ax^2+bx+c>0$ per qualsiasi valore di $x$, ovviamente (essendo sempre positiva) questo implica che $ax^2+bx+c<0$ non ammette soluzioni.
Ciao
Alexp
alexp,scusami o sono rinc**** oggi,oppure non ti 6 espresso bene perchè non ho capito
"Alexp":
ma non valendo mai $y=0$ siamo sicuri che non ammette sia valori positivi che negativi di $y$.
Alexp
????????????????????????????????
"Bruno":
A me viene in mente questa proposta di routine,
a una prima occhiata.
Moltiplico per 4a (>0) i due membri della prima
disequazione e trovo:
4a²x²+4abx+4ac > 0
poi aggiungo e tolgo b² a sinistra, ottenendo:
(2ax+b)²+4ac-b² > 0.
Poiché 4ac-b² > 0, tutta l'espressione (2ax+b)²+4ac-b²
non è mai negativa o nulla in R, quindi ax²+bx+c > 0
è sempre verificata.
Questo dimostra che ax²+bx+c < 0, rispetto alle
stesse condizioni (b²-4ac < 0 e a > 0), non ha
soluzioni in R.
Salvo sviste.
Cosa dici, Enea, potrebbe andare?
Mi piace ma forse è laboriosa peer un ragazzino.comunque
"karl":
Ti propongo 3 metodi di cui l'ultimo sottilmente piu' difficile
1)si puo' scrivere cosi':
$f(x)=ax^2+bx+c=a[(x+b/(2a))^2+(-Delta)/(4a^2)]$
da cui e' facile dedurre,per le condizioni poste,che si tratta di una quantita'
positiva per qualsiasi valore reale di x .
2)Poiche' per ipotesi le radici sono immaginarie (coniugate) sara':
$x_(1,2)=alpha+-jbeta$ e dunque:
$ax^2+bx+c=a(x-alpha-jbeta)(x-alpha+jbeta)=a[(x-alpha)^2+beta^2]$
e si conclude come prima .
3)poiche' le radici sono immaginarie il trinomio non si annulla per nessun valore
reale di x e quindi esso o e' sempre positivo o sempre negativo.
Per scegliere tra i due segni,dato che $Delta<0,a>0$ ,deve essere
necessariamente c>0.Ma allora f(0)=c>0 e pertanto f(x) e' sempre positivo
(per ogni x reale).
karl
Come al solito 6 molto esaustivo...ma,almeno io,feci i complessi al quarto anno!
Ciao....
si scusa, ieri mi sono confuso, rettifico.....se pongo $x=0$ essendo la nostra equazione $ax^2+bx+c>0$ farà: $a0^2+b0+c$, dunque il risultato è $c$....ora essendo che nelle condizioni che tu hai posto $a>0$ ed essendo $delta=(b^2-4(ac))<0$ significa che $c$ deve essere necessariamente positivo, questo perchè? perchè $b^2$ è sicuramente positivo, $a$ è positivo (dalle tue condizioni iniziali) resta $c$, la quale deve essere anch'essa positiva per permettere $delta<0$, se $c$ fosse negativo risulterebbe (b^2+4(ac))>0 (notare il segno $+$ al posto del$-$).
Dunque essendo $c$ positiva, abbiamo visto che per $x=0$ risulta $y=c$ dunque $y$ ammette valore positivo......questo ci porta a pensare che la nostra funzione $y=ax^2+bx+c$ non passando mai per lo zero (per nessun valore di $x$ vale $y=0$) ed essendo una funzione continua deve essere o solo positiva o solo negativa, avendo trovato ad esempio per $x=0$ $y=c$ (c positivo) allora la nostra funzione è sempre positiva, quindi che $ax^2+bx+c>0$ per qualsiasi valore di $x$, ovviamente (essendo sempre positiva) questo implica che $ax^2+bx+c<0$ non ammette soluzioni.
Alexp
P.S. Fammi sapere se ti è chiaro
si scusa, ieri mi sono confuso, rettifico.....se pongo $x=0$ essendo la nostra equazione $ax^2+bx+c>0$ farà: $a0^2+b0+c$, dunque il risultato è $c$....ora essendo che nelle condizioni che tu hai posto $a>0$ ed essendo $delta=(b^2-4(ac))<0$ significa che $c$ deve essere necessariamente positivo, questo perchè? perchè $b^2$ è sicuramente positivo, $a$ è positivo (dalle tue condizioni iniziali) resta $c$, la quale deve essere anch'essa positiva per permettere $delta<0$, se $c$ fosse negativo risulterebbe (b^2+4(ac))>0 (notare il segno $+$ al posto del$-$).
Dunque essendo $c$ positiva, abbiamo visto che per $x=0$ risulta $y=c$ dunque $y$ ammette valore positivo......questo ci porta a pensare che la nostra funzione $y=ax^2+bx+c$ non passando mai per lo zero (per nessun valore di $x$ vale $y=0$) ed essendo una funzione continua deve essere o solo positiva o solo negativa, avendo trovato ad esempio per $x=0$ $y=c$ (c positivo) allora la nostra funzione è sempre positiva, quindi che $ax^2+bx+c>0$ per qualsiasi valore di $x$, ovviamente (essendo sempre positiva) questo implica che $ax^2+bx+c<0$ non ammette soluzioni.
Alexp
P.S. Fammi sapere se ti è chiaro
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo