Addizione
Buongiorno a tutti,
per l’addizione e la sottrazione esiste un teorema che li giustifica, come ad esempio potrebbe esserlo il teorema fondamentale dell'aritmetica per la scomposizione in fattori primi.
In pratica come si è giunti all’addizione e alla sottrazione, su cosa poggiano.
per l’addizione e la sottrazione esiste un teorema che li giustifica, come ad esempio potrebbe esserlo il teorema fondamentale dell'aritmetica per la scomposizione in fattori primi.
In pratica come si è giunti all’addizione e alla sottrazione, su cosa poggiano.
Risposte
Sul contare.
In altre parole si associa a tutti gli insiemi (finiti) in corrispondenza biunivoca tra loro un "nome" ( per esempio a questi due insiemi ${*,+,!,%,?}$ e ${-,),=,£,!}$ è stato assegnato il nome "cinque") e a questo nome è stato associato il concetto di "numero naturale".
Più o meno ...
Cordialmente, Alex
In altre parole si associa a tutti gli insiemi (finiti) in corrispondenza biunivoca tra loro un "nome" ( per esempio a questi due insiemi ${*,+,!,%,?}$ e ${-,),=,£,!}$ è stato assegnato il nome "cinque") e a questo nome è stato associato il concetto di "numero naturale".
Più o meno ...
Cordialmente, Alex
Grazie axpgn 
Ma la funzione "successore" usata da Peano non c'entra nulla?
Ma la funzione "successore" usata da Peano non c'entra nulla?
Beh, Peano viene dopo ... gli Egiziani sapevano contare!
Peano ha formalizzato l'insieme dei numeri naturali, se così posso esprimermi ...
Ha detto che un insieme che rispetta i sue cinque assiomi si può chiamare "Insieme dei Numeri Naturali", ma gli assiomi non si dimostrano, sono le regole del gioco ... se le regole sono "buone" ed il gioco interessante, ci si può giocare a lungo ...
Uni dei suoi assiomi dice che ogni numero naturale ha un "successore" ma non specifica quale sia la regola per determinare il successore, lascia che siano i "giocatori" a stabilirla; l'unica cosa che conta è che non sia in conflitto con gli altri assiomi. In pratica la regola deve avere poi una sua "utilità" altrimenti il "gioco" finisce presto.
Nella realtà questa "regola" è l'addizione tra naturali; mi ricordo di aver letto qualcosa in proposito, se lo ritrovo lo posto
Cordialmente, Alex
Peano ha formalizzato l'insieme dei numeri naturali, se così posso esprimermi ...
Ha detto che un insieme che rispetta i sue cinque assiomi si può chiamare "Insieme dei Numeri Naturali", ma gli assiomi non si dimostrano, sono le regole del gioco ... se le regole sono "buone" ed il gioco interessante, ci si può giocare a lungo ...
Uni dei suoi assiomi dice che ogni numero naturale ha un "successore" ma non specifica quale sia la regola per determinare il successore, lascia che siano i "giocatori" a stabilirla; l'unica cosa che conta è che non sia in conflitto con gli altri assiomi. In pratica la regola deve avere poi una sua "utilità" altrimenti il "gioco" finisce presto.
Nella realtà questa "regola" è l'addizione tra naturali; mi ricordo di aver letto qualcosa in proposito, se lo ritrovo lo posto
Cordialmente, Alex
Dunque ...
Ho ritrovato il libro e riporto un estratto ...
Prima gli assiomi di Peano:
1) $1 in NN$
2) Per ciascun $n in NN$ esiste un unico $n^* in NN$ che chiamiamo successore di $n$
3) Per ciascun $n in NN$ abbiamo che $n^*!=1$
4) Se $m,n in NN$ e $m^*=n^*$ allora $m=n$
5) Ogni sottoinsieme $K$ di $NN$ tale che abbia le seguenti proprietà:
$quad$ a) $1 in K$
$quad$ b) $k^* in K$ quando $k in K$
è uguale a $NN$
La definizione di addizione su $NN$
(i) $n+1=n^*$ per ogni $n in NN$
(ii) $n+m^*=(n+m)^*$ ogni volta che $n+m$ è definito.
Cordialmente, Alex
Ho ritrovato il libro e riporto un estratto ...
Prima gli assiomi di Peano:
1) $1 in NN$
2) Per ciascun $n in NN$ esiste un unico $n^* in NN$ che chiamiamo successore di $n$
3) Per ciascun $n in NN$ abbiamo che $n^*!=1$
4) Se $m,n in NN$ e $m^*=n^*$ allora $m=n$
5) Ogni sottoinsieme $K$ di $NN$ tale che abbia le seguenti proprietà:
$quad$ a) $1 in K$
$quad$ b) $k^* in K$ quando $k in K$
è uguale a $NN$
La definizione di addizione su $NN$
(i) $n+1=n^*$ per ogni $n in NN$
(ii) $n+m^*=(n+m)^*$ ogni volta che $n+m$ è definito.
Cordialmente, Alex
Grazie Alex 
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