Aancora ellisse

[Verrena]

Salve, mi sono bloccata, potete aiutarmi?
Scrivi l'equazione dell'ellisse riferita agli assi e alcentro che passa per il punto T(-1;2) e in esso è tangente alla retta di coefficiente angolare 1.Ho trovato l'equazione della retta: $y=x-2$; impoongo il passaggio per T l'equazione dell'ellisse è $4/a^2+1/b^2=1$ e poi?

[laura.todisco]

La retta non è quella ma è
$y=x+3$

Oltre il passaggio per T, hai la condizione di tangenza, quindi $Delta=0$ del sistema tra retta ed ellisse, ma è un metodo che richiede tanti calcoli noiosi. Hai studiato la formula di sdoppiamento? Prova con quella, con 2 passaggi te la sbrighi.

[_nicola de rosa]

"Verrena":Salve, mi sono bloccata, potete aiutarmi?
Scrivi l'equazione dell'ellisse riferita agli assi e alcentro che passa per il punto T(-1;2) e in esso è tangente alla retta di coefficiente angolare 1.Ho trovato l'equazione della retta: $y=x-2$; impoongo il passaggio per T l'equazione dell'ellisse è $4/a^2+1/b^2=1$ e poi?

Innanzitutto l'equazione della tangente è: $y-2=x+1$ cioè $y=x+3$
Il passaggio per $(-1,2)$ comporta:
$1/a^2+4/b^2=1$ cioè $b^2+4a^2$=$a^2b^2$ da cui $b^2=4a^2/(a^2-1)$
Imponiamo la condizione di tangenza:
$x^2/a^2+(x+3)^2/b^2=1$ cioè $x^2(a^2+b^2)+6a^2x+a^2(9-b^2)=0$
Sostituiamo in tale equazione il valore di $b^2=4a^2/(a^2-1)$ ottenendo:
$x^2(a^4+3a^2)+6a^2(a^2-1)x+a^2(5a^2-9)=0$
La condizione di tangenza è: $delta=0$ da cui
$9a^4(a^2-1)^2-a^4(a^2+3)(5a^2-9)=0$ da cui:
$a^4(9a^4-18a^2+9-5a^4+9a^2-15a^2+27)=0$ da cui
$a^4(4a^4-24a^2+36)=0$ cioè
$4a^4(a^4-6a^2+9)=0$ cioè $a^4(a^2-3)^2=0$ da cui
$a^2=0$ non accettabile e $a^2=3$
Quindi $a^2=3$ e $b^2=4a^2/(a^2-1)=6$ e l'ellisse diventa:
$x^2/3+y^2/6=1$

[Verrena]

Se impongo il passaggio per il punto (1;-2) l'equazione diventa $1/a^2+4/b^2=1$, se in questa espressione impongo$T=1/a^2$ e $V=1/b^2$ ottengo $T+4V=1$ da cui $T=1-4V$
$x^2/a^2+y^2/b^2=1$ da cui $(1-4V)x^2+V(x+3)^2=1$ da cui $ x^2-4x^V+V(x^2+6X+9)-1=0$
da cui $x^-4x^2V+Vx^2*6Vx+9V-1=0$
da cui $x^2(1-3V)+6Vx+9V-1=0$
da cui £$delta=0 36V^2 - 4(9V-1-27V^2+3V)=0$
$v=12/72& da cui $V=1/2$ $T=-1$
Se hai tempo e voglia, puoi dirmi, per cortesia dove sta l'errore?
Grazie per la soluzione precedente, il metodo dello sdoppiamento ce lo ha solo accennato.
Grazie ancora, Manuela

[_nicola de rosa]

"Verrena":Se impongo il passaggio per il punto (1;-2) l'equazione diventa $1/a^2+4/b^2=1$, se in questa espressione impongo$T=1/a^2$ e $V=1/b^2$ ottengo $T+4V=1$ da cui $T=1-4V$
$x^2/a^2+y^2/b^2=1$ da cui $(1-4V)x^2+V(x+3)^2=1$ da cui $ x^2-4x^V+V(x^2+6X+9)-1=0$
da cui $x^-4x^2V+Vx^2*6Vx+9V-1=0$
da cui $x^2(1-3V)+6Vx+9V-1=0$
da cui £$delta=0 36V^2 - 4(9V-1-27V^2+3V)=0$
$v=12/72& da cui $V=1/2$ $T=-1$
Se hai tempo e voglia, puoi dirmi, per cortesia dove sta l'errore?
Grazie per la soluzione precedente, il metodo dello sdoppiamento ce lo ha solo accennato.
Grazie ancora, Manuela

Il tuo $V=12/72=1/6$ non ($1/2$) ma $T=1-4V=1-4/6=2/6=1/3$

Il tuo errore è stata una distrazione perchè $V=12/72=1/6$ e tu hai scritto $V=12/72=1/2$

[laura.todisco]

"Verrena": il metodo dello sdoppiamento ce lo ha solo accennato.

Peccato, ti eviteresti tutti i calcoli noiosi...

[Verrena]

ti ringrazio ancora una volta, buona giornata.