2 problemini e un teorema
1) in un triangolo rettangolo il doppio del cateto minore supera il maggiore di 5cm e il rapporto delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa è 16/9. trovare l'altezza relativa all'ipotenusa (6cm)
2) calcolare i tre lati di un triangolo rettangolo dati il perimetro di 40 m e la differenza dei cateti di 7m (8m, 15m,17m)
dimostrare che se due triangoli hanno tutti i lati in proporzione sono simili
grazie mille in anticipo
2) calcolare i tre lati di un triangolo rettangolo dati il perimetro di 40 m e la differenza dei cateti di 7m (8m, 15m,17m)
dimostrare che se due triangoli hanno tutti i lati in proporzione sono simili
grazie mille in anticipo
Risposte
vi prego è urgente
Il primo problema è piuttosto semplice!
Costruisci il triangolo rettangolo con l'angolo retto in alto (come si fa quando si applica euclide) affinchè tutto sia più semplice da capire. I cateti minore risulta AC mentre quello maggiore è BC, con ipotenusa AB. Traccio l'altezza relativa all'ipotenusa CH. Per ipotesi so che:
- 2AC = BC+5
- HB/AH = 16/9
Da quest'ultimo rapporto, mi ricavo l'apposizione HB = 16x e AH = 9x.
Applico il secondo teorema di Euclide: il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo avente come dimensioni le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa. Perciò si avrà:
AB^2 = AH*HB
AB^2 = 9x*16x
AB^2 = 3^2*4^2*x^2
AB = 3*4x
AB = 12x
Si applica il teorema di pitagora nei triangoli CHB e ACH per ricavare i cateti di ABC. Si nota che sono terne pitagoriche, percui:
BC = 20x (t.p.)
AC = 15x (t.p.)
Analizziamo l'equazione risolvante data:
2AC = BC+5
2*15x = 20x+5
30x = 20x+5
10x = 5
x = 1/2
Perciò se x = 1/2, allora:
CH = 12x = 12*1/2 = 6
Costruisci il triangolo rettangolo con l'angolo retto in alto (come si fa quando si applica euclide) affinchè tutto sia più semplice da capire. I cateti minore risulta AC mentre quello maggiore è BC, con ipotenusa AB. Traccio l'altezza relativa all'ipotenusa CH. Per ipotesi so che:
- 2AC = BC+5
- HB/AH = 16/9
Da quest'ultimo rapporto, mi ricavo l'apposizione HB = 16x e AH = 9x.
Applico il secondo teorema di Euclide: il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo avente come dimensioni le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa. Perciò si avrà:
AB^2 = AH*HB
AB^2 = 9x*16x
AB^2 = 3^2*4^2*x^2
AB = 3*4x
AB = 12x
Si applica il teorema di pitagora nei triangoli CHB e ACH per ricavare i cateti di ABC. Si nota che sono terne pitagoriche, percui:
BC = 20x (t.p.)
AC = 15x (t.p.)
Analizziamo l'equazione risolvante data:
2AC = BC+5
2*15x = 20x+5
30x = 20x+5
10x = 5
x = 1/2
Perciò se x = 1/2, allora:
CH = 12x = 12*1/2 = 6
Il secondo è un po' più complicato, almeno per come l'ho risolto io, perciò segui bene tutto il ragionamento!
Il disegno del triangolo questa volta è indifferente: io ho posto AB il cateto minore, AC quello maggiore e BC l'ipotenusa. Per ipotesi si conosce che:
- P = 40m
- AC-AB = 7m
Pongo AC = x
Quindi AB = x-7
Sfrutto la conoscenza del perimetro per ricavare l'ipotenusa:
AB + BC + CA = 40
x-7+BC+x = 40
BC = 47-2x
Per ricavare il valore di x, sfrutto il teorema di pitagora come equazione risolvente; perciò:
AC^2 + AB^2 = BC^2
x^2 + (x-7)^2 = (47-2x)^2
x^2 + x^2 - 14x + 49 = 2209 - 188x +4x^2
-2x^2 + 174x - 2160 = 0
x^2 - 87x + 1080 = 0
Tenendo presente la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, e che +-sqrt(x) è più o meno la radice quadrata di x, allora:
x(1,2) = [87+-sqrt(7569 - 4320)]/2
x(1,2) = [87+-sqrt(3249)]/2
x(1,2) = [87+-57]/2
x1 = (87+57)/2= 144/2 = 72 non accettabile poichè il P = 40 e un lato non può superare tale misura
x2 = (87-57)/2 = 30/2 = 15 accettabile
Perciò AC = x = 15m
AB = AC - 7 = 8m
BC = 47 - 2x = 47 - 30 = 17m
Il disegno del triangolo questa volta è indifferente: io ho posto AB il cateto minore, AC quello maggiore e BC l'ipotenusa. Per ipotesi si conosce che:
- P = 40m
- AC-AB = 7m
Pongo AC = x
Quindi AB = x-7
Sfrutto la conoscenza del perimetro per ricavare l'ipotenusa:
AB + BC + CA = 40
x-7+BC+x = 40
BC = 47-2x
Per ricavare il valore di x, sfrutto il teorema di pitagora come equazione risolvente; perciò:
AC^2 + AB^2 = BC^2
x^2 + (x-7)^2 = (47-2x)^2
x^2 + x^2 - 14x + 49 = 2209 - 188x +4x^2
-2x^2 + 174x - 2160 = 0
x^2 - 87x + 1080 = 0
Tenendo presente la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, e che +-sqrt(x) è più o meno la radice quadrata di x, allora:
x(1,2) = [87+-sqrt(7569 - 4320)]/2
x(1,2) = [87+-sqrt(3249)]/2
x(1,2) = [87+-57]/2
x1 = (87+57)/2= 144/2 = 72 non accettabile poichè il P = 40 e un lato non può superare tale misura
x2 = (87-57)/2 = 30/2 = 15 accettabile
Perciò AC = x = 15m
AB = AC - 7 = 8m
BC = 47 - 2x = 47 - 30 = 17m
Per quanto riguarda la dimostrazione, io non l'ho ancora fatta a scuola, quindi non saprei come aiutarti!!!
Comunque spero di essere stato chiaro prima con i problemi ;)!!!
Comunque spero di essere stato chiaro prima con i problemi ;)!!!
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