2 problemi geometria analitica (rette)

[P3pP3]

1) Abbiamo queste 3 equazioni:
r): y = 2
s): 4x - 3y + 2 = 0
t): x + y - 10 = 0
Si sa che r ed s rappresentano le rette sulle quali giacciono i lati di un parallelogramma e che t è la retta alla quale appartiene una diagonale. Determina perimetro e area del parallelogramma.



2)Del triangolo ABC sono noti i vertici A(1,1) e B(15,8 ) e l'incentro F(3,7). Determina le coordinate del punto C.(Suggerimento:l'incentro è equidistante dai lati del triangolo) Verifica poi che il triangolo è rettangolo e trova il circocentro D.


help pls

[minimo]

1) Abbiamo queste 3 equazioni:
r): y = 2
s): 4x - 3y + 2 = 0
t): x + y - 10 = 0
Si sa che r ed s rappresentano le rette sulle quali giacciono i lati di un parallelogramma e che t è la retta alla quale appartiene una diagonale. Determina perimetro e area del parallelogramma.

allora calcola l'intersezione della retta

[math]t[/math]

con le rette

[math]r[/math]

ed

[math]s[/math]

. Otterrai rispettivamente i punti

[math]P[/math]

e

[math]Q[/math]

. Poi calcola l'intersezione delle due rette

[math]r[/math]

ed

[math]s[/math]

ottenendo il punto

[math]N[/math]

.
I tre punti

[math]P[/math]

,

[math]Q[/math]

ed

[math]N[/math]

formano un triangolo che non è altro che la metà del parallelogramma suddetto.

Calcola la distanza tra il punto

[math]P[/math]

e la retta

[math]s[/math]

ed avrai l'altezza del triangolo.
Calcola la distanza tra i punti

[math]P[/math]

ed

[math]N[/math]

ed avrai la base del triangolo
base x altezza ed otterrai l'area del parallelogramma.

Calcola la distanza tra

[math]Q[/math]

ed

[math]N[/math]

ed avrai la misura dell'altro lato del triangolo.
Moltiplica per

[math]2[/math]

la distanza

[math]QN[/math]

sommaci 2 volte la base (distanza

[math]PN[/math]

) ed otterrai il perimetro.


2)Del triangolo ABC sono noti i vertici A(1,1) e B(15,8 ) e l'incentro F(3,7). Determina le coordinate del punto C.(Suggerimento:l'incentro è equidistante dai lati del triangolo) Verifica poi che il triangolo è rettangolo e trova il circocentro D.


Allora scriviamo l'equazione della retta per

[math]A[/math]

e

[math]B[/math]

[math]x-7y+1=0[/math]

la distanza di

[math]F[/math]

dalla retta

[math]AB[/math]

è

[math]r=\frac{3-49+1}{\sqrt{1+49}}=\frac{45}{5\sqrt{2}}=\frac{9}{\sqrt{2}}[/math]

Adesso calcola l'equazione del cerchio di raggio

[math]r[/math]

e centro

[math]F[/math]

[math](x-3)^{2}+(y-7)^{2}=(\frac{9}{\sqrt{2}})^{2}[/math]

cioè

[math]2(x-3)^{2}+2(y-7)^{2}=81[/math]

l'intersechi con la retta di centro

[math]A[/math]

[math]y=m(x-1)+1[/math]

e calcoli per quale valore di m è nullo il discriminante dell'equazione

[math]2(x-3)^{2}+2[m(x-1)-6]^{2}-81=0[/math]

Allora uno dei due valori di

[math]m[/math]

dà la retta per

[math]A[/math]

e

[math]B[/math]

, l'altro la retta su cui si trova un lato del triangolo.

Poi fai l'intersezione della circonferenza con il fascio improprio per

[math]B[/math]

e ti determini l'altra retta su cui giace l'altro lato del triangolo.

Intersecando queste due nuove rette puoi trovarti il punto

[math]C[/math]

Per capire se il trinagolo è rettangolo basta guardare i coefficienti angolari delle rette AB, BC e AC (le cui equazioni devono essere messe in forma esplicita). Fai il prodotto dei coefficienti angolari quando il risultato è -1hai messo le mani su due rette ortogonali e quindi hai provato che il triangolo è rettangolo.

Se il triangolo è rettangolo allora in circocentro è il punto medio dell'ipotenusa.