2 problemi di geometria piana

[valenta93]

ciao a tutti!
per domani oltre a una serie di esercizi che mi sono venuti ho da fare 2 problemi che si risolvono tramite equazione di 2° grado.

questi sono i testi

1) il lato di un triangolo equilatero ABC misura 2a. conduci da A la perpendicolare al lato CB che lo interseca in D. trova sul lato AC un punto P tale che la somma dei quadrati delle misure delle sue distanze da B e dalla retta AD sia 96/25a^2.
soluzione AP= 4/25 A(5 +/- 2 radice 5)

2) in un triangolo equilatero ABC di lato a traccia una corda DE parallela al lato AB in modo che l'area del trapezio ABED sia equivalente a 9/25 dell'area del triangolo
DE= 4/5a

il primo problema non sono proprio riuscita a farlo il secondo l'ho inizito..

ecco il procedimento che ho fatto:

AB=a

chiamo H il punto di intersezione dell'altezza del triangolo (partendo dal vertice A) sul lato AB,e chiamo O, l'intersezione della stessa altezza con DC.

HB=a/2

CH= a/2 * radice 3

CE=x
OE= x/2
CO= x/2 * radice 3

OH= a/2 radice 3 - x/2 radice 3

ora utilizzo questa relazione

A(ABDE)= 9/25 A(ABC)
sostituisco ma non mi viene. se fin qui è giusto mi potreste scrivere i procedimenti dell'equazione?

grazie mille.

[ciampax]

E' inutile calcolare direttamente l'area del trapezio: se noti il trapezio ABDE ha area pari a quella del triangolo ABC meno quella del triangolo DEC.

Ora, tu sai che

[math]A_{ABC}=\frac{\sqrt{3} a^2}{4},\qquad A_{CDE}=\frac{\sqrt{3} x^2}{4}[/math]

quindi

[math]A_{ABDE}=A_{ABC}-A_{CDE}=\frac{\sqrt{3} a^2}{4}-\frac{\sqrt{3} x^2}{4}=
\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot(a^2-x^2)[/math]

e quindi

[math]\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot(a^2-x^2)=\frac{9\sqrt{3} a^2}{100}[/math]

da cui l'equazione

[math]25a^2-25x^2=9a^2\Longrightarrow 25x^2=16 a^2[/math]

e quindi la soluzione

[math]x=4a/5[/math]

.


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Per il primo problema, ecco come procedere. Disegna il triangolo in modo che il vertice A sia in alto: allora la retta AD coincide con l'altezza relativa alla base CB e quindi

[math]CD=DB=a,\qquad AD=\frac{\sqrt{3} a}{2}[/math]

Sia ora

[math]PA=x[/math]

Se indichiamo con H il punto su AD tale che PH è perpendicolare a AD (e quindi è la distanza di P da AD) abbiamo come puoi vedere facilmente che

[math]PH=x/2[/math]

.

L'altra distanza è un po' più complicata. Indica con K l'altezza relativa alla base BA del triangolo APB. Allora

[math]PK=\frac{\sqrt{3} x}{2},\qquad AK=\frac{x}{2},\qquad BK=2a-\frac{x}{2}[/math]

e quindi

[math]PB^2=PK^2+BK^2=\frac{3x^2}{4}+4a^2-2ax+\frac{x^2}{4}=x^2+4a^2-2ax[/math]

Ma allora deve essere

[math]PH^2+PB^2=\frac{96 a^2}{25}[/math]

e quindi

[math]\frac{x^2}{4}+x^2+4a^2-2ax=\frac{96 a^2}{25}[/math]

da cui l'equazione

[math]125 x^2-200a x+16 a^2=0[/math]

le cui radici sono

[math]x=\frac{20 a\pm 8\sqrt{5} a}{25}=\frac{4 a}{25}\cdot(5\pm 2\sqrt{5}}.[/math]

[valenta93]

grazie mille.
il secondo problema avrei potuto arrivarci ma in quanto al primo: grazie alla tua spiegazione ho capito il procedimento ma da sola non ci sarei mai arrivata.
volevo chiederti un ultima cosa.. hai mica dei consigli da darmi sullo svolgimento di problemi di questo tipo?
grazie ancora =D ^^

[ciampax]

Mmmmmmmmmmmm.......

In questa sede mi sembra poco appropriato. Se mi dai un po' di tempo, ti mando un pm con calma. Comunque, qui chiudo!