Triangolo isoscele inscritto in una semicirconferenza

[axpgn]

Buonasera

Ho questo problema di terza media:

Un trapezio isoscele è inscritto in una semicirconferenza di raggio $20$.
La diagonale è i $5/4$ della sua proiezione mentre il lato obliquo è i $5/3$ della sua proiezione.
La differenza tra la diagonale e la sua proiezione è $6.4$.

Determinare base minore e perimetro.

Ora non ho problemi a risolvere con Pitagora ed equazione di secondo grado ma, purtroppo, tali argomenti non sono ancora stati trattati
Qualcuno conosce qualche scorciatoia usando qualche proprietà a me sconosciuta?


Thanks


Cordialmente, Alex

[moccidentale]

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[@melia]

Non so postare le figure, ma la descrivo: AB il diametro e poi metti in senso antiorari C e D sulla base minore, H proiezione di C sul diametro e O centro della semicirconferenza.
La diagonale è i 5/4 della sua proiezione cioè $AC = 5/4 AH$ cioè $AC = AH + 1/4 AH$, perciò $AC -AH= 1/4 AH$ e da qui calcoli $AH= 4*6,4= 25,6 cm$

Noto $AH$ calcoli $HB$ per differenza e poi $CB$.

La base minore $DC$ si trova per differenza tra $AB$ e il doppio di $HB$.

Sono d'accordo che in terza media si dovrebbe conoscere il teorema di Pitagora, ma in questo esercizio non serve fino a che non ti sia richiesta l'area del trapezio.

[moccidentale]

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[axpgn]

Pitagora non lo hanno ancora "formalmente" fatto ma lo faranno quindi in teoria per questo esercizio non era necessario, ed infatti non serve
Per quanto riguarda i quadratini, dopo averne risolti a migliaia, che dico centinaia, me li ero completamente scordati

Gracias a todos, mucho

Alex

[@melia]

"sellacollesella":
Eh ma se leggo solo l'introduzione del problema poi è chiaro che vada a calcolare cose a caso. Grazie!

Neppure io avevo letto attentamente, tanto che ho subito pensato ad un problema di seconda media pre-teorema di Pitagora, anzi alla fine mi sono controllata con i calcoli se il TdP fosse rispettato (spesso negli esercizi pre-Pitagora ho trovato problemi con triangoli rettangoli che non rispettavano il teorema). Quando ho visto la tua risposta ho riletto bene il testo.
Grazie a te.

[moccidentale]

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[axpgn]

[ot]È tutto "aggratis"
Ma lo faccio da ben prima che frequentassi il Forum, da sempre in pratica [/ot]

[Bokonon]

"@melia":Non so postare le figure, ma la descrivo: AB il diametro e poi metti in senso antiorari C e D sulla base minore, H proiezione di C sul diametro e O centro della semicirconferenza.

Per pura curiosità, prendo spunto da @melia per capire cosa sappiano fare i ragazzi di terza media ponendo delle domande.
Se $AD=5/3AH rArr AH=3/5AD$. Comprendono questo concetto?
Il triangolo ABD è retto poichè inscritto nella semicirconferenza. Conoscono questa proprietà?
I triangoli AHD, DHB e ABD hanno angoli uguali, pertanto i rapporti fra lati corrispondenti sono identici. Conoscono il concetto/teorema?
Dai fatti precedenti, deduciamo che $AD=3/5AB=3/5*40=24$
Quindi $DC=AB-2AH=40-2*3/5*24=(200-144)/5=56/5$
Etc.

Fondamentalmente sono colpito dal fatto che diano problemi risolvibili con la metà delle informazioni date...e mi chiedo perchè...

[moccidentale]

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[axpgn]

"Bokonon":Se $AD=5/3AH rArr AH=3/5AD$. Comprendono questo concetto?

Sì, nel senso che usano i segmentini/quadratini quindi assumono che un pezzo sia lungo 3 segmentini, se lo divido in tre parti e poi ne prendo cinque ottengo l'altro pezzo perciò da questo pezzo, se lo divido in cinque parti e ne prendo tre riottengo quello inziale. Dopo un po' molti se non tutti capiscono il "teorema"

"Bokonon":Il triangolo ABD è retto poichè inscritto nella semicirconferenza. Conoscono questa proprietà?

Sì, questo sì.

"Bokonon":I triangoli AHD, DHB e ABD hanno angoli uguali, pertanto i rapporti fra lati corrispondenti sono identici. Conoscono il concetto/teorema?

Questo non credo, ma non è necessario in questo problema.

[gio73]

"axpgn":[quote="Bokonon"]

[quote="Bokonon"]Il triangolo ABD è retto poichè inscritto nella semicirconferenza. Conoscono questa proprietà?

Sì, questo sì. [/quote] [/quote]

Non sempre

"axpgn":
[quote="Bokonon"]I triangoli AHD, DHB e ABD hanno angoli uguali, pertanto i rapporti fra lati corrispondenti sono identici. Conoscono il concetto/teorema?

Questo non credo, ma non è necessario in questo problema.[/quote]
Questo molto spesso

[axpgn]

Scuola che vai, programma che trovi

[Bokonon]

Grazie a tutti per le risposte!
Riflettendo sulla mia esperienza (e parliamo di decadi fa!), ricordo distintamente che la parte geometrica (delle domande) la studiai in seconda liceo scientifico.
Però ricordo anche che alle medie l'algebra la studiammo in modo classico, ovvero sommando/moltiplicando/semplificando le frazioni. Non ricordo affatto che mi abbiano insegnato i segmentini/quadratini...e francamente (anche se apprezzo il metodo) trovo che in terza media debbano ANCHE insegnare le operazioni classiche.

[moccidentale]

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[@melia]

Adesso con un po' di tempo ho trovato le "Indicazioni Nazionali" per la scuola media, quella cosa che ha sostituito i programmi.
Per Matematica i dati sono da pag. 25 a 27.
Nelle pagine 5 e 6 ci sono le Competenze Chiave che vanno sviluppate all'interno del programma e possono essere viste come spunto per lo sviluppo di alcune unità didattiche di "Cittadinanza e Costituzione" alias Educazione civica.

[Bokonon]

Grazie @melia! Preziosa come sempre.
Adesso però sono confuso e sorpreso: in generale, mi aspettavo un programma decisamente più congruo di quello che insegnarono a me...ma stando al documento è molto più avanzato di quanto mi aspettassi!
Praticamente, uno studente di terza media dovrebbe essere tranquillamente in grado di risolvere il problema seguendo il mio approccio!

[@melia]

Intanto si parla alla fine della terza media e poi se vedi le linee guida dei licei scopri che certi punti non sono certo gli obiettivi minimi da raggiungere. Solo gli studenti più bravi riescono a combinare correttamente le varie voci. Ma gli studenti più bravi non hanno bisogno dell’aiuto di genitori, ripetizioni, forum.