Teorema di Euclide:

[^Me]

Allora:
Qualcuno potrebbe spiegarmi il Teorema di Euclide?
Il libro dice.. Ci sono due modi per enunciarlo:
Il primo NON L' HO CAPITO
Il secondo SI.
Perfavore. Spiegatemelo perchè a scuola l' abbiamo fatto a Maggio e per via di rassegne, gite e con manifestazioni l'orchestra non siamo arrivati a continuarlo.
Grazie in anticipo.

[Studente Anonimo]

Primo teorema di Euclide

1. In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente
al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto
sull'ipotenusa stessa.

2. In un triangolo rettangolo, il cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e
la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.


Secondo teorema di Euclide

1. In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa
è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.

2. In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale
tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.


Fonte: Wikipedia

Bene. Stai facendo riferimento al primo o al secondo teorema di Euclide?
Rispetto alla numerazione di cui sopra, quale enunciato non ti è chiaro? :)

[Anthrax606]

Allora:
Da quanto ho capito ti interessa sapere solo il primo teorema di Euclide. Il primo teorema di Euclide enuncia che: in ogni triangolo rettangolo, ogni cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.





Sia

[math]ABC[/math]

un triangolo rettangolo dove

[math]A \hat B C=90°[/math]

. Costruiamo un quadrato su AB (

[math]ABDE[/math]

) ed un rettangolo

[math]AGIH[/math]

avente per lati

[math]GI=AH=AC[/math]

. Se prolunghiamo i lati

[math]AH\ \ e\ \ GI[/math]

del rettangolo e

[math]ED[/math]

del quadrato, otteniamo un parallelogramma

[math]ABLK[/math]

perché ha i lati opposti paralleli ed un triangolo rettangolo

[math]AEK[/math]

.


Come facciamo a capire che il triangolo rettangolo (in giallo) è retto? L'idea è che il quadrato verde è un poligono regolare, ciò vuol dire che è equilatero ed equiangolo, avente quatto angoli retti. Il triangolo

[math]A \hat B C=90°[/math]

è retto per ipotesi; mentre

[math]E \hat A H=B \hat A C[/math]

sono complementari di uno stesso angolo

[math]K \hat A B[/math]

, ciò vuol dire che la somma di

[math]E \hat A H+K \hat A B=90°,\ K \hat A B+B \hat A C=90°[/math]

ossia la somma di due angoli è un angolo retto.






Queste tre relazioni sono sufficienti per affermare che i due triangoli (in giallo)

[math]EAK\ \ e\ \ ABC[/math]

sono uguali. Per tale relazione , di conseguenza

[math]AK=AC[/math]

ed essendo

[math]AC=GI[/math]

, per transitività si ha che

[math]AK=GI[/math]

.





Se consideriamo il parallelogrammo

[math]P[/math]

ed il rettangolo

[math]R[/math]

, vediamo che hanno la stessa base e la stessa altezza, ed essendo che l'area del parallelogramma e del rettangolo si calcola facendo

[math]b*h[/math]

, allora si avrà che le due figure hanno la stessa area, in simboli:

[math]P \equiv R[/math]

.





Ora consideriamo il quadrato

[math]Q[/math]

ed il parallelogramma

[math]P[/math]

. Anch'essi hanno la stessa base e la stessa altezza, quindi anch'essi sono equivalenti:

[math]Q \equiv P[/math]

. Ed essendo il parallelogramma

[math]P[/math]

equivalente al rettangolo

[math]R[/math]

, per transitività si ha che anche

[math]Q \equiv R[/math]

.


In definitiva, questa dimostrazione vuole simboleggiare che, ogni cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa. In formule:

[math]AC:AB=AB:AG\\
AC:BC=BC:CG[/math]

Spero di averti aiutato!!
Ciaooo :hi

[^Me]

Grazie mille
Mi siete serviti entrambi! :D