Solido con piramide

[chaty]

un solido e costituito da un cubo e da una piramide quadrangolare regolare avente la case coincidente con una faccia del cubo. sependo che l' area della superficie totale del cubo misura 5400 e l'altezza della piramide e congruente ai 6\5 dello spigolo del cubo, calcola l'area della superficie totale e il volume del solido

[tiscali]

Allora, possediamo la superficie totale del cubo, per cui possiamo subito ricavare la misura dello spigolo:

[math]l = \sqrt{\frac{St}{6}}= \sqrt{900} = 30 cm[/math]

Sappiamo che l'altezza della piramide è congruente ai

[math]\frac{6}{5}[/math]

dello spigolo, per cui siamo in grado di calcolare anche l'altezza:

[math]h = \frac{6}{5} l \to \frac{6}{\not{5}^{1}} \not{30}^{6} = 36 cm [/math]

L'altezza della piramide misurerà pertanto 36 cm.

Calcoliamo ora la misura del perimetro di base (della piramide), vale a dire, il perimetro di una faccia del cubo, per cui, di un quadrato:

[math]Pb = l \cdot 4 = 30 \cdot 4 = 120 cm[/math]

A questo punto dobbiamo calcolare l'apotema della piramide, per farlo ci occore sapere l'apotema di base, che equivale alla metà del lato:

[math]\frac{l}{2} = \frac{30}{2} = 15 cm[/math]

Ora, mediante Pitagora possiamo calcolare l'apotema della piramide, che chiamiamo "a" ("ab" significa "apotema di base")

[math]a = \sqrt{h^2 + ab^2 = 36^2 + 15^2 = 1296 + 225} = \sqrt{1521} = 39 cm [/math]

Calcoliamo ora la superficie di base, che si servirà per calcolare la superficie totale della piramide:

[math]Sb = l^2 = 30^2 = 900 cm^2[/math]

Ora, come già detto, calcoliamo la superficie totale della piramide:

[math]Stp = \frac{Pb \cdot a}{2} + Sb = \frac{120 \cdot 39}{2} + 900 = 3240 cm^2[/math]

Per cui sommando la St del cubo, con quella della piramide, otteniamo la superficie totale del solido:

[math]Sts = Stc + Stp = 5400 + 3240 = 8640 cm^2 [/math]

Infine i volumi:

Vp (volume piramide) =

[math]\frac{Sb \cdot h}{3} = \frac{900 \cdot 36}{3} = \frac{\not{32400}^{10800}}{\not{3}^{1}} = 10800 cm^3[/math]

Vc (volume cubo) =

[math]l^3 = 30^3 = 27000 cm^3[/math]

Volume totale:

[math]Vt = Vp + Vc = 10800 + 27000 = 37800 cm^3[/math]

Fammi sapere se i risultati sono corretti.

[Ali Q]

C'è un piccolo errore nel calcolo della superficie totale:

Poichè la piramide si trova sopra una faccia del cubo, la superficie totale del solido così formato non ha più 6 facce quadrate (come le ha il cubo), ma 5, perchè la sesta è "coperta".
Quindi la superficie totale del solido è pari alla superficie laterale della piramide, più la superficie di 5 facce del cubo.
In altre parole:

Superficie totale = (120 x 39)/2 + 5 x 30 x 30 = 2340 + 4500 = 6840 cm^2.

Tutto il resto, invece, è corretto (anche il volume) e calcolato benissimo.

[tiscali]

Ti ringrazio Ali, è un passaggio che mi è sfuggito. :)