Secondo teorema di euclide
Ciao a tutti,
Stasera sono prorpio fusa!!! sono sicura che il problema che sto per sottoporvi sia davvero facile! ma proprio non riesco a trovare il nesso.....
La diagonale maggiore di un rombo misura 16 cm e l'altezza relativa al lato misura 4,8 cm. Calcola le misure delle proiezioni delle semidiagonali sul lato del rombo.
Non riesco proprio ad impostare il ragionamento!! grazie in anticipo a tutti!!!
Stasera sono prorpio fusa!!! sono sicura che il problema che sto per sottoporvi sia davvero facile! ma proprio non riesco a trovare il nesso.....
La diagonale maggiore di un rombo misura 16 cm e l'altezza relativa al lato misura 4,8 cm. Calcola le misure delle proiezioni delle semidiagonali sul lato del rombo.
Non riesco proprio ad impostare il ragionamento!! grazie in anticipo a tutti!!!
Risposte
Ciao Alessandra.
Vediamo, il secondo teorema di Euclide - vado a memoria quindi correggimi se sbaglio
- dice che il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è uguale al rettangolo che ha per lati le due proiezioni dei cateti su questa ipotenusa.
Non mi sembra subito applicabile, vediamo di fare un passaggetto intermedio.
Hai la diagonale maggiore e l'altezza relativa al lato, dunque ti conviene considerare come triangolo (rettangolo tra l'altro) quello formato da:
- mezza diagonale maggiore
- l'altezza relativa al lato
- la proiezione sul lato del rombo della mezza diagonale maggiore.
Su chrome non posso disegnare la figura (ci ho provato una volta a istallare adobe svg viewer ma ho lasciato stare), perciò spero di essere stato chiaro a parole.
Ora la proiezione sul lato del rombo della mezza diagonale maggiore ce l'hai con il teorema di Pitagora, semplicemente considerando la mezza diagonale maggiore come ipotenusa e l'altezza di cui parlo come cateto. Tale proiezione è l'altro cateto.
Per trovare l'altra proiezione applichi il secondo teorema di Euclide perché (tornando al rombo di partenza) nel triangolo rettangolo formato da mezza diagonale maggiore, mezza diagonale minore e il lato hai:
- il lato del rombo (l'ipotenusa)
- l'altezza relativa al lato (ce l'hai in partenza)
- la proiezione del cateto sull'ipotenusa (appena trovata con Pitagora).
Quindi con Euclide trovi l'altra proiezione e... bon!
Comunque ho usato Pitagora perché ovunque i teoremi di Euclide si fanno dopo. Se così non è... mi zittisco.
OT: Ciao Ale, è da un mese che voglio mandarti una mail ma il lavoro mi leva ogni voglia di fare altro a parte aiutare qualcuno sul forum: cogliendo l'occasione ti mando tanti saluti. Sono lontani i tempi universitari!
Dimenticavo: se ho sbagliato "Alessandra", fa' finta di niente, ma non credo proprio se la memoria non mi inganna!
Vediamo, il secondo teorema di Euclide - vado a memoria quindi correggimi se sbaglio
- dice che il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è uguale al rettangolo che ha per lati le due proiezioni dei cateti su questa ipotenusa.Non mi sembra subito applicabile, vediamo di fare un passaggetto intermedio.
Hai la diagonale maggiore e l'altezza relativa al lato, dunque ti conviene considerare come triangolo (rettangolo tra l'altro) quello formato da:
- mezza diagonale maggiore
- l'altezza relativa al lato
- la proiezione sul lato del rombo della mezza diagonale maggiore.
Su chrome non posso disegnare la figura (ci ho provato una volta a istallare adobe svg viewer ma ho lasciato stare), perciò spero di essere stato chiaro a parole.
Ora la proiezione sul lato del rombo della mezza diagonale maggiore ce l'hai con il teorema di Pitagora, semplicemente considerando la mezza diagonale maggiore come ipotenusa e l'altezza di cui parlo come cateto. Tale proiezione è l'altro cateto.
Per trovare l'altra proiezione applichi il secondo teorema di Euclide perché (tornando al rombo di partenza) nel triangolo rettangolo formato da mezza diagonale maggiore, mezza diagonale minore e il lato hai:
- il lato del rombo (l'ipotenusa)
- l'altezza relativa al lato (ce l'hai in partenza)
- la proiezione del cateto sull'ipotenusa (appena trovata con Pitagora).
Quindi con Euclide trovi l'altra proiezione e... bon!
Comunque ho usato Pitagora perché ovunque i teoremi di Euclide si fanno dopo. Se così non è... mi zittisco.
OT: Ciao Ale, è da un mese che voglio mandarti una mail ma il lavoro mi leva ogni voglia di fare altro a parte aiutare qualcuno sul forum: cogliendo l'occasione ti mando tanti saluti. Sono lontani i tempi universitari!
Dimenticavo: se ho sbagliato "Alessandra", fa' finta di niente, ma non credo proprio se la memoria non mi inganna!
Ciao Giova....dammi qualche giorno e ti scrivo anche io con calma!!!!
il problema è che non riesco a visualizzare il primo triangolo rettangolo!!!! sta tutto lì il problema
cioè questo
Hai la diagonale maggiore e l'altezza relativa al lato, dunque ti conviene considerare come triangolo (rettangolo tra l'altro) quello formato da:
- mezza diagonale maggiore
- l'altezza relativa al lato
- la proiezione sul lato del rombo della mezza diagonale maggiore
sto proprio fusa.......
il problema è che non riesco a visualizzare il primo triangolo rettangolo!!!! sta tutto lì il problema
cioè questo
Hai la diagonale maggiore e l'altezza relativa al lato, dunque ti conviene considerare come triangolo (rettangolo tra l'altro) quello formato da:
- mezza diagonale maggiore
- l'altezza relativa al lato
- la proiezione sul lato del rombo della mezza diagonale maggiore
sto proprio fusa.......
"alessandra.dicarlo":
il problema è che non riesco a visualizzare il primo triangolo rettangolo!!!! sta tutto lì il problema
cioè questo
Hai la diagonale maggiore e l'altezza relativa al lato, dunque ti conviene considerare come triangolo (rettangolo tra l'altro) quello formato da:
- mezza diagonale maggiore
- l'altezza relativa al lato
- la proiezione sul lato del rombo della mezza diagonale maggiore
sto proprio fusa.......
Rimedio così
Se non sto fuso anch'io - probabile! - il primo triangolo è BHC nell'immagine che ho allegato.
povera me!!!!! io avevo inteso che 4,8 era l'altezza del rombo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
grazieeeeeeeeeeeee
grazieeeeeeeeeeeee
Ma $4,8$ è l'altezza del rombo ... e $BH$ è la metà ... 
come fa BH ad essere la metà dell'altezza del rombo?!
anche perché facendo i conti con la metà di 4,8 l'esercizio non riporta.
anche perché facendo i conti con la metà di 4,8 l'esercizio non riporta.
Premesso che dalle due righe che hai scritto non si parla di triangoli quindi presumo che quell'altezza sia quella del rombo, $BH$ è perpendicolare al lato perciò è un "pezzo" dell'altezza del rombo e se consideri il triangolo "opposto" a $ABC$ vedi che è congruente a questo perciò anche la sua altezza sarà congruente a $BH$ oltre a "trovarsi" sulla stessa retta ...
Ma semplicemente credo che il testo dell'esercizio sia fuorviante.....secondo me dovrebbe specificare che si riferisce all'altezza del triangolo e non all'altezza del rombo.
"axpgn":
Premesso che dalle due righe che hai scritto non si parla di triangoli quindi presumo che quell'altezza sia quella del rombo, $BH$ è perpendicolare al lato perciò è un "pezzo" dell'altezza del rombo e se consideri il triangolo "opposto" a $ABC$ vedi che è congruente a questo perciò anche la sua altezza sarà congruente a $BH$ oltre a "trovarsi" sulla stessa retta ...
Sono andato sparato e, infatti, mi sono dimenticato il pezzetto che dice che $BH$ è mezza altezza del rombo.
Epic fail!
Comunque in prima analisi avevo capito anch'io l'altezza del triangolo, ma poi ho pensato che fosse l'altezza totale e ho dato questa cosa per scontata, comunque - strano a dirsi perché di geometria non sono mai stato un drago - il ragionamento è comunque valido. Al massimo si fa diviso 2.
@Alessandra
Ma se specifica questo ti ha già dato la strada ... ... e d'altra parte anche se fosse l'altezza del rombo è risolvibile (come detto sopra ...)
Ma se specifica questo ti ha già dato la strada ...
... e d'altra parte anche se fosse l'altezza del rombo è risolvibile (come detto sopra ...)
L'esercizio non riporta con la metà di 4,8........fidatevi!!! hihihihihi
quindi secondo me è solo un problema di "italiano" e non di geometria!!!!
quindi secondo me è solo un problema di "italiano" e non di geometria!!!!
Secondo me l'altezza in questione è quella del rombo, chiamiamola $2h$
Sempre secondo me, se si fa il disegno in scala, risulta evidente che l'altezza dei 4 triangoli rettangoli relativa all'ipotenusa è $(2h)/2=h$. (da dimostrare?)
Quindi $h=2,4$
Considero il triangolo rettangolo con cateto minore $2,4$ e ipotenusa $ 16/2=8$. Con il teorema di Pitagora posso calcolare l'altro cateto che è $7,63$ ed è la proiezione maggiore richiesta.
A questo punto con il secondo t. di Euclide posso calcolare la proiezione minore,
impostando la seguente proporzione:
$ 7,63:2,4=2,4:x$
$x=0,755$
o no?
Sempre secondo me, se si fa il disegno in scala, risulta evidente che l'altezza dei 4 triangoli rettangoli relativa all'ipotenusa è $(2h)/2=h$. (da dimostrare?)
Quindi $h=2,4$
Considero il triangolo rettangolo con cateto minore $2,4$ e ipotenusa $ 16/2=8$. Con il teorema di Pitagora posso calcolare l'altro cateto che è $7,63$ ed è la proiezione maggiore richiesta.
A questo punto con il secondo t. di Euclide posso calcolare la proiezione minore,
impostando la seguente proporzione:
$ 7,63:2,4=2,4:x$
$x=0,755$
o no?
Il problema parla dell'altezza del rombo rispetto al lato, quindi dobbiamo vedere il rombo come un parallelogramma che ha tutti i lati uguali:
[img]http://www.matematicamente.it/forum/download/file.php?mode=view&id=456&sid=968967b93a334e4b99b6b256c042b28f[/img]
Quindi il rombo $ABCD$ ha altezza $AE=4.8$ e diagonale maggiore $AC=16$
Notiamo subito che il triangolo $AEC$ è proporzionale al triangolo $OHC$ ovvero $AC:AE=OC:OH$ , ma essendo $OC$ la metà di $AC$ ne consegue che $OH$ è la metà di $AE$ e quindi $OH=4.8/2=2.4$
La proiezione della semidiagonale maggiore sul lato del rombo è $HC$, questa si trova facilmente con il teorema di Pitagora:
$HC=sqrt(OC^2-OH^2)=sqrt(8^2-2.4^2)=sqrt(64-5.76)=7.63$
Ora per il secondo teorema di Euclide in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa, questo significa che $OH^2=DH*HC$ e quindi:
$DH=(OH)^2/(HC)=0.75$
e abbiamo trovato così la proiezione della semidiagonale minore sul lato del rombo.
[img]http://www.matematicamente.it/forum/download/file.php?mode=view&id=456&sid=968967b93a334e4b99b6b256c042b28f[/img]
Quindi il rombo $ABCD$ ha altezza $AE=4.8$ e diagonale maggiore $AC=16$
Notiamo subito che il triangolo $AEC$ è proporzionale al triangolo $OHC$ ovvero $AC:AE=OC:OH$ , ma essendo $OC$ la metà di $AC$ ne consegue che $OH$ è la metà di $AE$ e quindi $OH=4.8/2=2.4$
La proiezione della semidiagonale maggiore sul lato del rombo è $HC$, questa si trova facilmente con il teorema di Pitagora:
$HC=sqrt(OC^2-OH^2)=sqrt(8^2-2.4^2)=sqrt(64-5.76)=7.63$
Ora per il secondo teorema di Euclide in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa, questo significa che $OH^2=DH*HC$ e quindi:
$DH=(OH)^2/(HC)=0.75$
e abbiamo trovato così la proiezione della semidiagonale minore sul lato del rombo.
@ Drake 76
Bravo per la dimostrazione. Ci mancava, e bravo per il disegno.
Ai miei tempi della scuola, quando dovevo risolvere un problema di geometria, cercavo sempre di risolverlo prima graficamente facendo un bel disegno in scala. Così potevo sempre verificare, e non correvo il pericolo di andare fuori strada.
Può essere un consiglio per i giovani!
Bravo per la dimostrazione. Ci mancava, e bravo per il disegno.
Ai miei tempi della scuola, quando dovevo risolvere un problema di geometria, cercavo sempre di risolverlo prima graficamente facendo un bel disegno in scala. Così potevo sempre verificare, e non correvo il pericolo di andare fuori strada.
Può essere un consiglio per i giovani!
"al_berto":
Ai miei tempi della scuola, quando dovevo risolvere un problema di geometria, cercavo sempre di risolverlo prima graficamente facendo un bel disegno in scala.
Io lo facevo alle olimpiadi della matematica, con tanto di righello millimetrato e più di una volta m'è andata bene in tal senso. Per il resto alle superiori, invece, a parte per gli esercizi basati sulle dimostrazioni (criteri di equivalenza dei triangoli rettangoli), dicevano che il disegno doveva essere indicativo e basta, non ci si doveva basare sul disegno!
Grazie, ricevere un complimento da chi ne sa più di me è una bella soddisfazione 
Uso i disegni ovunque sia possibile farlo, anche in trigonometria, ovviamente sono disegni schematici, appena abbozzati, non devono essere usati per risolvere i problemi ma come guide che suggeriscono qual è la strada giusta da seguire, il resto lo devono fare l'algebra e l'aritmetica.
Uso i disegni ovunque sia possibile farlo, anche in trigonometria, ovviamente sono disegni schematici, appena abbozzati, non devono essere usati per risolvere i problemi ma come guide che suggeriscono qual è la strada giusta da seguire, il resto lo devono fare l'algebra e l'aritmetica.
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