Rombo (195855)

[geom2014]

L'area di un rombo è 864 dm° e la diagonale maggiore è 4/3 della minore. Qual è la misura delle diagonali ?

[Ithaca]

Ciao Geom, è un problema semplicissimo!
Ti chiedo di postare un tuo tentativo.

Nell'attesa, per aiutarti, ti faccio presente che hai l'area e sai con certezza che una diagonale è i 4/3 dell'altra.
Quindi:
- Diagonale minore: X
- Diagonale maggiore: (4/3)X

Sai che la formula dell'area è pari a:

A = (d1 x d2)/2

Come procedi? :)

[geom2014]

x .4/3x
-------- = 864
2
devo iniziare la 3a media e non ho ancora studiato algebra.
come proseguo ?

[Ithaca]

Beh, semplicemente devi calcolarti la x dall'equazione ottenuta:

Otterrai, con i giusti calcoli, che la X, nonché la diagonale minore, è pari a 36. Potrai poi calcolarti anche la diagonale maggiore :)
Ti ho dato un altro aiuto. Posta di seguito la tua risoluzione ;)

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Scusa l'intrusione Martina, ma in moltissime scuole medie
fino alla terza classe non affrontano le proporzioni e le
equazioni. Quindi vediamo di procedere per vie alternative,
più geometriche/visive. :)

Ad esempio, sapendo che la diagonale maggiore è 4/3 di
quella minore, significa che se la diagonale minore è com-
posta da 3 segmenti, quella maggiore è composta da 4
segmenti di egual lunghezza. Ora, osservando per bene il
seguente disegno:



si notano

[math]8[/math]

triangolini congruenti, di cui

[math]4[/math]

rossi e

[math]4[/math]

neri.
Ebbene, conoscendo l'area del rombo, ossia di

[math]4[/math]

triangolini,
come si farà mai a calcolare l'area del rettangolo nero?

Ora, osservando quest'altro disegno:



conoscendo l'area del rettangolo nero, ossia dei

[math]12[/math]

quadratini
verdi che lo compongono, come si farà mai a calcolare l'area di
un singolo quadratino? E poi, come si farà mai a calcolare la lun-
ghezza del lato del quadratino, ossia quella di un segmentino? :)

[Ithaca]

Tranquillo Nicola, di sicuro il tuo aiuto vale più del mio.

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Mah, non saprei dirti... di certo two is meglio che one. :D

[geom2014]

Ringrazio Nicola e la sua spiegazione mi è chiara, ma sono interessato alla risoluzione algebrica.
Dato che non conosco la procedura, ma sto cercando di capire qualcosa di algebra per il mio anno prossimo , mi potete aiutare ?? Grazie
Luisa

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Sono felice che ti sia chiara, ma prima di imbarcarci in "cose nuove",
quali appunto spiegazioni di algebra riguardo le equazioni, sarebbe
opportuno che ci mostrassi la risoluzione seguendo i passaggi che
ti ho indicato, a conferma che tu abbia veramente capito bene. A quel
punto, io o Martina o qualcun'altro cercheremo di spiegarti in maniera
semplice come risolvere tale problemino per via algebrica. ;)

[geom2014]

864 x 2 = 1728 : 12 = 144
lato = 12
d1 = 12 x 4 = 48
d2 = 12 x 3 = 36

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Ok, perfetto.

Dunque, si definisce equazione un'uguaglianza che può diventare vera sostituendo
alla lettera (incognita) un valore particolare detto soluzione. Tutto sta a capire come
calcolare tale valore che sostituito al posto della lettera renda vera l'uguaglianza.

Innanzitutto un'equazione la devi immaginare come una bilancia a bracci: se sui due
piatti mettiamo rispettivamente una forma di formaggio (le intendo identiche), allora
le altezze dei due piatti saranno uguali, dunque la bilancia è in equilibrio e analoga-
mente l'uguaglianza della nostra equazione è verificata.

A questo punto, se metto su un piatto un'altra forma di formaggio, per mantenere
l'equilibrio dobbiamo mettere un'altra forma di formaggio (identica) sull'altro piatto.
Ebbene, da tale osservazione nasce il primo principio di equivalenza (la prima
regoletta che può servire nella risoluzione delle equazioni): aggiungendo o sottraendo
ad entrambi i membri di un'equazione (ossia a sinistra e a destra dell'uguale) una
stessa quantità l'equazione resta equivalente alla data (ossia avrà la stessa soluzione,
che è ciò che conta).

Infine, se taglio a metà una forma di formaggio presente su un piatto e una delle due
metà la tolgo dal piatto della bilancia perché l'equilibrio rimanga tale devo per forza
di cose fare la stessa cosa sull'altro piatto. Ecco, da qui nasce il secondo principio
di equivalenza (seconda e ultima regoletta che può tornare utile per risolvere le
equazioni): moltiplicando o dividendo entrambe i membri di un'equazione per una
stessa quantità diversa da zero l'equazione resta equivalente alla data.

Prima di passare all'equazione che risolve il tuo problema, vediamo un
esempio più semplice per mettere subito in pratica entrambe le regolette
evidenziate in rosso. Consideriamo l'equazione

[math]2x - 4 = 8[/math]

. Lo scopo
è quello di trovare

[math]x = soluzione[/math]

, dove "soluzione" sarà un bel nume-
retto, la soluzione dell'equazione. Per fare questo, innanzitutto torna utile
applicare il primo principio di equivalenza sommando ad entrambi i membri

[math]4[/math]

:

[math]2x-4+4=8+4[/math]

e sommando i monomi simili, ossia lettere con
lettere e numeri con numeri, si ottiene

[math]2x=12[/math]

(dovrebbe essere chiaro
perché ho sommato ambo i membri proprio

[math]4[/math]

e non

[math]1[/math]

, ad esempio). Infine,
avendo sempre ben in mente lo scopo finale, ossia

[math]x=soluzione[/math]

, appli-
chiamo il secondo principio di equivalenza dividendo ambo i membri per

[math]2[/math]

:

[math]\frac{2x}{2} = \frac{12}{2}[/math]

e semplificando le due frazioni otteniamo quanto desiderato:

[math]x = 6[/math]

.
Dulcis in fundo, nasce un dubbio:

[math]6[/math]

è veramente soluzione dell'equazione appena
risolta? Oppure no? Per togliersi il dubbio si esegue quella che si chiama verifica: si
sostituisce al posto della lettera x la soluzione trovata e si vede se sui due piatti della
bilancia abbiamo le stesse quantità, ossia se i due membri sono uguali. In questo caso,
si ha:

[math]2\cdot 6 - 4 = 8[/math]

e semplificando si ha

[math]8 = 8[/math]

: uguaglianza verificata, quindi

[math]6[/math]

è proprio la soluzione dell'equazione appena risolta. Bingo!! :D


Tornando all'equazione che hai impostato correttamente:

[math]\frac{x\cdot \frac{4}{3}x}{2}=864[/math]

, innanzitutto è
bene semplificare la frazione presente a membro sinistro, ottenendo:

[math]x\cdot \frac{2}{3}x=864[/math]

.
Quindi torna utile il secondo principio di equivalenza, in particolare è bene moltiplicare
ambo i membri per

[math]\frac{3}{2}[/math]

ottenendo

[math]x\cdot x = 1296[/math]

. Infine, senza tirare in ballo altre no-
zioni che potrebbero confonderti, osserva che sei di fronte ad un prodotto di due cose uguali.
Non ti ricorda niente? Ad esempio, lato per lato = area del quadrato? Ecco, in questo caso
hai

[math]x[/math]

per

[math]x[/math]

uguale a

[math]1296[/math]

. Dunque, nota l'area del quadrato,

[math]1296[/math]

, sapresti
calcolare la lunghezza del proprio lato, ossia

[math]x[/math]

? Se sì hai finito, equazione risolta. ;)

[geom2014]

Grazie per la spiegazione.. e per il tempo !!