Problemi di geometria,sulla piramide! DD:

[Deborah!!]

1) Una piramide retta ha per base un rombo il cui perimetro è di 200 cm e una diagonale di 60 cm. Calcola l'area della superficie totale della piramide, sapendo che la sua altezza misura 18 cm.

2)Una piramide retta alta 24 cm ha per base un rombo avente l'area di 252 cm^2 e una diagonale di 36 cm. Calcola la misura degli spigoli laterali che sono a due a due congruenti.

3) Una piramide regolare triangolare ha l'apotema di 12,5 dm e il perimetro di base di 30 dm. Calcola l'area della superficie totale.

Grazie in anticipo :3

[Anthrax606]

Allora:
1.
-Innanzitutto ti calcoli la misura del lato, conoscendo la misura del perimetro del rombo. Dunque:

[math]l=\frac{P_{b}}{4}=\frac{200cm}{4}=50cm[/math]

-Per poter calcolare l'altra diagonale, devi necessariamente applicare il Teorema di Pitagora, dove l'ipotenusa è il lato del rombo e per cateto la semi-diagonale minore (la indico con d). Dunque:

[math]\frac{d}{2}=\frac{60cm}{2}=30cm[/math]

-L'altra semi-diagonale maggiore, perchè conosci la semi-diagonale minore:

[math]\frac{D}{2}=\frac{50^{2}-30^{2}}cm=\\
\sqrt{2500-900}cm=\\
\sqrt{1600}cm=40cm[/math]

-Per calcolarti l'intera diagonale basta che moltiplichi per 2, quindi:

[math]D=\frac({D=40cm}{2})*2=80cm[/math]

-Conoscendo la diagonale minore e la diagonale maggiore, puoi calcolarti l'area della superficie di base. Dunque:

[math]A_{b}=\frac{d*D}{2}=\frac{60cm*80cm}{2}=\frac{4800cm^{2}}{2}=2400cm^{2}[/math]

-Dobbiamo calcolare l'apotema della piramide, conosciamo la misura del lato di base e l'altezza, applichiamo il Teorema di Pitagora dove l'apotema della piramide funge da ipotenusa, l'apotema di base è presto calcolata, basta dividere per due il lato del rombo e fungerà da cateto, e l'altezza è l'altro cateto. Quindi:

[math]a=\sqrt{18^{2}+\frac{50cm}{2}}cm=\\
\sqrt{324+25^{2}}cm=\\
\sqrt{324+625}cm=\\
\sqrt{949}cm=±30,80cm[/math]

-Infine, conoscendo il perimetro di base e l'apotema, possiamo calcolare l'area della superficie laterale e successivamente l'area della superfice totale. Quindi:

[math]S_{l}=\frac{P_{b}*a}{2}=\frac{200cm*±30,80cm}{2}=\frac{6160cm^{2}}{2}=3080cm^{2}\\
A_{t}=A_{l}+A_{b}=3080cm^{2}+2400cm^{2}=5480cm^{2}[/math]

2.
Allora:
-Con la formula inversa dell'area del rombo, calcoliamo la diagonale minore del rombo. Dunque:

[math]d=\frac{2A}{D}=\frac{2*252cm^{2}}{36cm}=\frac{504cm^{2}}{36cm}=14cm[/math]

-Gli spigoli laterali fungono da ipotenusa di un triangolo rettangolo formatosi, che ha per cateti l'altezza del triangolo e le semi-diagonali. Calcoliamo dunque quest'ultime (Indico gli spigoli con MIN e MAX). Dunque:

[math]i_{MAX}=\sqrt{24^{2}+(\frac{36cm}{2})^{2}}cm=\\
\sqrt{576+18^{2}}cm=\\
\sqrt{576+324}cm=\\
\sqrt{900}cm=30cm[/math]

[math]i_{MIN}=\sqrt{24^{2}+(\frac{14cm}{2}}cm=\\
\sqrt{576+7^{2}}cm=\\
\sqrt{576+41}cm=\\
\sqrt{625}cm=25cm[/math]

3.
Allora:
-Conoscendo il perimetro di base, e l'apotema, possiamo direttamente calcolarci l'area della superficie laterale. Dunque:

[math]A_{l}=\frac{P_{b}*a}{2}=\frac{30cm*12,5cm}{2}=187,5cm[/math]

-Con il Teorema di Pitagora, calcoli l'altezza, prima di ciò devi conoscere il lato di base, per calcolarti l'apotema che sarà il semi-lato (semi-spigolo di base):

[math]l=\frac{30cm}{3}=10cm\\
\frac{l}{2}=\frac{10cm}{2}=5cm[/math]

-

[math]Altezza con il Teorema di Pitagora:[/math]

[math]h=\sqrt{10^{2}-5^{2}}cm=\\
\sqrt{100-25}cm=\\
\sqrt{75}cm=±8,66cm[/math]

-Ti calcoli l'area di base conoscendo la base e l'altezza del triangolo, quindi:

[math]A_{b}=\frac{b*h}{2}=\frac{10cm*±8,66cm}{2}=\frac{±86,6cm}{2}=43,3cm^{2}[/math]

-Conoscendo , infine, l'area della superficie di base e quella laterale, calcoliamo l'area totale. Quindi:

[math]A_{t}=A_{l}+A_{b}=187,5cm^{2}+43,3cm^{2}=230,8cm^{2}[/math]

Spero di averti aiutato!!
Ciaooo :hi