Problemi di geometria con risultati

[Spazius]

1) in un triangolo rettangolo la differenza della misura di un cateto e della sua proiezione sull'ipotenusa è18m e il loro rapporto è 5/3. calcola il perimetro e l'area del triangolo.

Risultato 180m ; 1350cm^2

2) in un trapezio rettangolo la diagonale minore, che misura 33dm, è perpendicolare al lato obliquo. sapendo che la base maggiore è lunga 55dm, calcola il perimetro el'area del trapezio.

Risultato 145,2 dm ; 987,36 dm^2

[Maga96]

... Dovrebbero essere giusti...

[strangegirl97]

Ciao spazius!
Posso aiutarti io con i tuoi problemi, ecco le risoluzioni.

Problema 1
Ecco un disegno del triangolo rettangolo:


Il problema ci dice che la differenza tra un cateto e la sua proiezione è 18 m e che il loro rapporto è

[math]\frac{5} {3}[/math]

. Per calcolare le loro misure si può applicare la proprietà dello scomporre, secondo cui in una proporzione la differenza tra il primo e il secondo termine sta al primo come la differenza tra il terzo e il quarto termine sta al terzo. Analogamente la differenza tra il primo e il secondo termine sta al secondo come la differenza tra il terzo e il quarto termine sta al quarto. Considerando il cateto AC e la sua proiezione HC sull'ipotenusa si ottengono le seguenti proporzioni:
(AC - HC) : AC = (5 - 3) : 5
18 : AC = 2 : 5

[math]{AC} = \frac{18 * 5} {2} = \frac{\no{18}^9 * 5} {\no2^1} = {9 * 5} = {45\;m}
[/math]

(AC - HC) : HC = (5 - 3) : 3
18 : HC = 2 : 3

[math]{HC} = \frac{18 * 3} {2} = \frac{\no{18}^9 * 3} {\no2^1} = {9 * 3} = {27\;m}[/math]

Per conoscere la misura dell'ipotenusa invece possiamo applicare il primo teorema di Euclide, secondo cui in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa. Applicando questo teorema servendoci delle misure del cateto AC e della sua proiezione HC otteniamo la seguente proporzione, che ci permetterà di determinare la lunghezza dell'ipotenusa:
BC : AC = AC : HC
BC : 45 = 45 : 27

[math]{BC} = \frac{45^2} {27} = \frac{2025} {27} = \frac{\no{2025}^{75}} {\no{27}^1} = {75\;m}[/math]

Adesso applichiamo il teorema di Pitagora per conoscere la misura del cateto AB.

[math]{AB} = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{75^2 - 45^2} = \sqrt{5625 - 2025} = \sqrt{3600} = {60\;m}[/math]

E dopodiché puoi calcolare il perimetro e l'area.

Problema 2
Ecco un disegno del nostro trapezio rettangolo.


Come puoi notare la diagonale minore AC divide il trapezio in due triangoli rettangoli, ADC e ABC. Quest'ultimo ha come ipotenusa la base maggiore AB del trapezio rettangolo (55 dm), come cateto minore la diagonale minore AC (33 dm) e come cateto maggiore il lato obliquo BC del trapezio. Applicando il teorema di Pitagora possiamo calcolare la misura di BC:

[math]{BC} = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{55^2 - 33^2} = \sqrt{3025 - 1089} = \sqrt{1936} = \sqrt{44\;dm}[/math]

Tracciando l'altezza CH del trapezio puoi notare che essa corrisponde all'altezza relativa all'ipotenusa del triangolo rettangolo. L'ipotenusa risulta così divisa in due segmenti, AH e HB, che sono rispettivamente le proiezioni dei cateti AC e BC sull'ipotenusa. Applicando il primo teorema di Euclide (di cui ho già parlato nella risoluzione del primo problema) considerando il cateto AC del triangolo (la diagonale minore del trapezio) possiamo conoscere la misura della proiezione AH, congruente con la base minore CD del trapezio.
AB : AC = AC : AH
55 : 33 = 33 : AH

[math]{AH} = \frac{33^2} {55} = \frac{1089} {55} = {19,8\;dm} = {CD}[/math]

Adesso prendiamo in considerazione il triangolo rettangolo ADC. Esso ha come ipotenusa la diagonale minore AC (33 dm), come cateto minore la base minore CD (19,8 dm) e come cateto maggiore l'altezza AD del trapezio rettangolo, di cui possiamo conoscere la misura applicando il teorema di Pitagora.

[math]{AD} = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{33^2 - 19,8^2} = \sqrt{1089 - 392,04} = \sqrt{696,96} = {26,4\;dm}[/math]

Il perimetro e l'area puoi calcolarli da solo, hai tutte le misure necessarie. ;)
Ad ogni modo la prossima volta, nella tua domanda, saluta e chiedi per favore. La cortesia non è mai troppa, ricorda. ;) Se c'è qualcosa che non ti è chiaro torna qui così cerco di spiegartelo in un altro modo.
Ciao alla prossima! :hi