Problemi con cono
calcola l'area dellla superficie totale e il volume di un cono sapendo che la circonferenza di base e lunga 52 pi gre e l'area della superficie laterale e 845 pi gre.
[1521 pi gre;4394 pi gre]
in un triangolo rettangolo la somma dell'ipotenusa e di un cateto e 32 e il loro rapporto e 5\3.calcola l'area della superficie e il volume del solido generato dalla rotazione di 360° del triangolo attorno all'ipotenusa.
[268,8 pi gre;614,4 pi gre]
[1521 pi gre;4394 pi gre]
in un triangolo rettangolo la somma dell'ipotenusa e di un cateto e 32 e il loro rapporto e 5\3.calcola l'area della superficie e il volume del solido generato dalla rotazione di 360° del triangolo attorno all'ipotenusa.
[268,8 pi gre;614,4 pi gre]
Risposte
1)
Innanzi tutto ricaviamo, dalla circonferenza, la misura del raggio:
C = 2*pi*r
r = C/(2*pi9 = 52*pi/(2*pi) = 26
A questo punto possiamo calcolare immediatamente la sup. totale:
St = Sl + Sb = Sl + pi*r^2 = 845*pi + pi*26^2 = 845*pi + 676*pi =
= 1521*pi
Dalla sup. laterale ricaviamo la misura dell'apotema del cono:
Sl = pi*r*a
a = Sl/(pi*r) = 845*pi/(pi*26) = 32,5
Applichiamo il t. di pitagora tra apotema e raggio per ricavare l'altezza del cono:
h = sqr (a^2 - r^2) = sqr ( 32,5^2 - 26^2) = sqr 380,25 = 19,5
Il volume del cono sarà:
V = (pi*r^2 * h)/3 = (pi*26^2 * 19,5)/3 = 4394*pi
... a breve il secondo
:hi
Aggiunto 28 minuti più tardi:
2)
Sappiamo che:
1) i + c1 = 32
2) i = (5/3)*c1
sostituiamo il valore di i della 2) nella 1)
1) (5/3)*c1 + c1 = 32
(8/3)*c1 = 32
c1 = 32*(3/8 ) = 12
dalla 2) ricaviamo immediatamente il valore di i
i = (5/3)*c1 = (5/3)*12 = 20
A questo punto possiamo calcolarci, con il t. di pitagora, la misura del secondo cateto:
c2 = sqr (i^2 - c1^2) = sqr (20^2 - 12^2) = sqr 256 = 16
Il solido di rotazione che si ottiene facendo ruotare il triangolo rettangolo intorno all'ipotenusa, è un solido formato da due coni con la base comune, di raggio pari all'altezza riferita all'ipotenusa e con le rispettive altezze pari alle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa stessa.
Iniziamo ricavando l'altezza riferita all'ipotenusa hi (il raggio r dei nostri cono):
sappiamo che
A = c1*c2/2 = i*hi/2
quindi ricavando hi
hi = r = c1*c2/i = 12*16/20 = 9,6
Per ricavare le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa utilizziamo il 1° t. di euclide:
c1^2 = p1*i
p1 = c1^2/i = 12^2/20 = 7,2
L'altra proiezione la troviamo per semplice differenza:
p1 + p2 = i
p2 = i - p1 = 20 - 7,2 = 12,8
Adesso abbiamo tutti gli elementi per trovare le misure del cono richieste:
nota: gli apotemi dei coni corrispondono ai rispettivi cateti c1 e c2
St = Sl1 + Sl2 = pi*r*c1 + pi*r*c2 = pi*9,6*12 + pi*9,6*16 =
= 115,2*pi + 153,6*pi = 268,8*pi
Vt = V1 + V2 = (pi*r^2 * p1)/3 + (pi*r^2 * p2)/3 =
= (pi*9,6^2 * 7,2)/3 + (pi*9,6^2 * 12,8 )/3 =
= 221,184*pi + 393,216*pi = 614,4*pi
... ecco fatto, scusa il ritardo ma avevo fatto un errore di calcolo e non mi veniva il volume...
:hi
Massimiliano
Innanzi tutto ricaviamo, dalla circonferenza, la misura del raggio:
C = 2*pi*r
r = C/(2*pi9 = 52*pi/(2*pi) = 26
A questo punto possiamo calcolare immediatamente la sup. totale:
St = Sl + Sb = Sl + pi*r^2 = 845*pi + pi*26^2 = 845*pi + 676*pi =
= 1521*pi
Dalla sup. laterale ricaviamo la misura dell'apotema del cono:
Sl = pi*r*a
a = Sl/(pi*r) = 845*pi/(pi*26) = 32,5
Applichiamo il t. di pitagora tra apotema e raggio per ricavare l'altezza del cono:
h = sqr (a^2 - r^2) = sqr ( 32,5^2 - 26^2) = sqr 380,25 = 19,5
Il volume del cono sarà:
V = (pi*r^2 * h)/3 = (pi*26^2 * 19,5)/3 = 4394*pi
... a breve il secondo
:hi
Aggiunto 28 minuti più tardi:
2)
Sappiamo che:
1) i + c1 = 32
2) i = (5/3)*c1
sostituiamo il valore di i della 2) nella 1)
1) (5/3)*c1 + c1 = 32
(8/3)*c1 = 32
c1 = 32*(3/8 ) = 12
dalla 2) ricaviamo immediatamente il valore di i
i = (5/3)*c1 = (5/3)*12 = 20
A questo punto possiamo calcolarci, con il t. di pitagora, la misura del secondo cateto:
c2 = sqr (i^2 - c1^2) = sqr (20^2 - 12^2) = sqr 256 = 16
Il solido di rotazione che si ottiene facendo ruotare il triangolo rettangolo intorno all'ipotenusa, è un solido formato da due coni con la base comune, di raggio pari all'altezza riferita all'ipotenusa e con le rispettive altezze pari alle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa stessa.
Iniziamo ricavando l'altezza riferita all'ipotenusa hi (il raggio r dei nostri cono):
sappiamo che
A = c1*c2/2 = i*hi/2
quindi ricavando hi
hi = r = c1*c2/i = 12*16/20 = 9,6
Per ricavare le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa utilizziamo il 1° t. di euclide:
c1^2 = p1*i
p1 = c1^2/i = 12^2/20 = 7,2
L'altra proiezione la troviamo per semplice differenza:
p1 + p2 = i
p2 = i - p1 = 20 - 7,2 = 12,8
Adesso abbiamo tutti gli elementi per trovare le misure del cono richieste:
nota: gli apotemi dei coni corrispondono ai rispettivi cateti c1 e c2
St = Sl1 + Sl2 = pi*r*c1 + pi*r*c2 = pi*9,6*12 + pi*9,6*16 =
= 115,2*pi + 153,6*pi = 268,8*pi
Vt = V1 + V2 = (pi*r^2 * p1)/3 + (pi*r^2 * p2)/3 =
= (pi*9,6^2 * 7,2)/3 + (pi*9,6^2 * 12,8 )/3 =
= 221,184*pi + 393,216*pi = 614,4*pi
... ecco fatto, scusa il ritardo ma avevo fatto un errore di calcolo e non mi veniva il volume...
:hi
Massimiliano
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