Problema x domani

[Ciuffo98]

Problema!! X favore potete risolvermi questo problema!!! Grazie: In un prisma retto a base quadrata il rapporto tra l'area di base e l'area della superficie è 2:3, mentre l'area della superficie totale è 2744 cm2. Determina l'altezza del prisma

[Ali Q]

Soluzione:

In un prisma retto a base quadrata il rapporto tra l'area di base e l'area della superficie è 2:3, mentre l'area della superficie totale è 2744 cm2. Determina l'altezza del prisma

2/3 è il rapporto tra l'area della base e l'area della superficie laterale, giusto?

Dunque, l'area della base -trattandosi di un quadrato- è pari a:

[math]l^2.[/math]

L'area della superficie laterale è invece pari all'area delle quattro facce laterali. Esse sono rettangolari, ed hanno un lato pari al lato di base ed un lato pari all'altezza del prisma.
Cioè

[math]Alat = 4 * l * h [/math]

Il rapporto tra queste due grandezze -dice il probelam- è pari a 2/3.
Cioè

[math]Abase/Alat = 2/3 [/math]

Sostituisco ad ognuna il proprio valore:

[math]l^2/(4*h*l) = 2/3[/math]

[math]l/(4h) = 2/3[/math]

[math]l = 2/3 * 4h[/math]

[math]l = 8/3 * h[/math]

So inoltre che l'area totale è pari a

[math]2744 cm^2.[/math]

L'area totale è pari a:

[math]2 * Abase + A lat [/math]

Quindi

[math]2*l^2 + 4*h*l = 2744 cm^2.[/math]

Abbiamo precedentemente trovato che l= 8/3*h, quindi sostituisco ad l questo valore:

[math]2*l^2 + 4*h*l = 2*(8/3*h)^2 + 4* h* 8/3 h = 2744 cm^2.[/math]

Ne deriva che:

[math]2* 64/9*h^2 + 32/3*h^2 = 2744 cm^2[/math]

[math]128/9*h^2 + 32/3*h^2 = 2744 cm^2[/math]

[math]128/9*h^2 + 96/9*h^2 = 2744 cm^2[/math]

[math]224/9*h^2 = 2744 cm^2[/math]

[math]h^2 = 2744 * 9/224 = 110,25 cm^2[/math]

[math]h = radice di (110,25 cm^2) = 10,5 cm[/math]

Fine. Ciao!