PROBLEMA TRAPEZIO RETTANGOLO!!

[Emy98]

Ciao a tutti, non so risolvere questo problema, mi potete aiutare???
Un trapezio rettangolo ha la base maggiore di 3 dm, la diagonale minore di 2,5 dm e la differenza delle basi di 1,5 dm. Calcolate:
a) l'area del solido generato dalla rotazione completa del trapezio intorno alla base maggiore. [risultato: 15 pi-greco = 47,1 dm quadrati]
b) il suo volume. [risultato: 8 pi-greco = 25,12 dm cubi]
GRAZIE MILLE!!!

[Ali Q]

Ciao, Emy! Ecco le soluzioni:

Chiamo:

[math]B [/math]

= base maggiore

[math]b[/math]

= base minore

[math]h[/math]

= altezza

[math]l[/math]

= lato obliquo

[math]d[/math]

= diagonale minore

Determiniamo innanzi tutto i lati del trapezio.
So che:

[math]B-b = 1,5 dm[/math]

Ma

[math]B = 3 dm[/math]

Quindi

[math]b = B -1,5 dm = 3 dm -1,5 dm = 1,5 dm[/math]

La diagonale minore forma con l'altezza e la base minore un triangolo rettangolo. Posso dunque utilizzare il teorema di Pitagora per determinare h:

[math]h = \sqrt{d^2 - b^2}= \sqrt{2,5^2 - 1,5^2}= \sqrt{6,25 - 2,25}= \sqrt{4}= 2 dm[/math]

Se traccio l'altra altezza, mi accorgo che essa forma un latro triangolo rettangolo con il lato obliquo. Questo triangolo ha per ipotenusa il lato obliquo, per acteto verticale

[math]h = 2 dm[/math]

e per cateto orizzontale la quantità

[math]B-b = 1,5 dm[/math]

. Posso determinare il lato oblquo grazie nuovamente al teorema di Pitagora:

[math]l = \sqrt{2^2 +1,5^2}= 2,5 dm[/math]

Faccio ruotare il trapezio attorno alla base maggiore. Ottendo un cilindro sormomtato da una piramide.
Abbiamo che il cilindro ha un'altezza pari a

[math]1,5 dm = b[/math]

, e un raggio pari a

[math]2dm = h[/math]

.
il cono ha invece raggio pari a

[math]2dm = h[/math]

e altezza pari a

[math]1,5 dm = B-b[/math]

L'apotema è pari a

[math]2,5 dm = l.[/math]

L'area del solido così formato è costituita dall'area della base del cilindro, più la sua area laterale, più l'area laterale del cono.
Indicherò con il simbolo

[math]P[/math]

il pi-greco.

[math]Ab(clindro)= Pr^2 = 4P[/math]

[math]Alat(cilindro)= 2Pr*altezza = 2P2*1,5 = 6 P[/math]

[math]Alat(cono)= Pr*apotema = P2*2,5 = 5 P[/math]

[math]A tot = 4P + 6P + 5P = 15 P dm^2 = 47,1 dm^2[/math]

[math]Vtot= V(cilindro) + V(cono) = Pr^2*altezza + Pr^2*altezza/3 =[/math]

[math]= 4/3 (Pr^2*altezza) = 4/3(P*2^2*1,5) = 4/3* 6P = 8P dm^3 = 25,12 dm^3 [/math]

Fine. Ciao!