Problema sulle piramidi

[AnnaPalmieri0ap9]

1)Il perimetro di un rombo misura 90 cm e una delle diagonali misura 36 cm. Calcola l'area della superficie laterale della piramide retta altre 5.76 cm avente per base il rombo risultato 550. 8 cm 2.

2)Un cubo avente lo spigolo di 16 cm e' equivalente a una piramide regolare quadrangolare altra 12 cm calcola la superficie totale della piramide risultato 2304 cm 2.

Le basi e l'altezza di un trapezio isoscele misurano rispettivamente 12,3 e 6 cm calcola l'apotema e il volume della piramide retta Alta 4 cm che ha per base il trapezio risultato 5 cm 60 cm3
Aiutatemi per favore a fare questi esercizi

[Fabrizio Del Dongo]

SOLUZIONE PROBLEMA n. 1
Disegno separatamente la base e la piramide
Nel rombo:
ABCD = rombo
AB = lato del rombo
AC = diagonale maggiore
DB = diagonale minore
O = punto di incontro delle due diagonali
OH = altezza del rettangolo ABO che partendo dal vertice O cade perpendicolarmente sul lato opposto che corrisponde al lato del rombo. OH e' anche il raggio del cerchio inscritto nel rombo
Nella piramide:
V = vertice
VH = apotema
VO = altezza

DATI
Perimetro del rombo = 90 cm
DB = 36 cm
VO (altezza piramide) = 5,76 cm
Devo calcolare l Area laterale della piramide

SOLUZIONE
Per calcolare l'Area laterale di una piramide applico la formula
perimetro di base . apotema/2
Il perimetro di base è noto (= 90 cm),invece l'apotema (VH) la dobbiamo calcolare
Osserviamo bene la figura. L apotema della piramide e' l'ipotenusa del triangolo VOH, in cui OH = cateto mminore e VO = cateto maggiore
Ora lavoriamo sul triangolo AOB (uno dei quattro triangoli rettangoli in cui è diviso il rombo dalle due diagonali.
AB (= lato base) = 90/4 = 22,5 cm
OB (= meta' diagonale minore e cateto minore del triangolo AOB) = DB/2 = 36/2 = 18 cm
Applico il teorema di Pitagora e trovo la misura del cateto maggiore (= AO):
AO = AB al quadrato + OB al quadrato sotto segno di radice = 22,5 al quadrato - 18 al quadrato sotto segno di radice = 506,25 - 324 sotto segno di radice = 182,25 sotto segno di radice = 13,50 cm
Area del triangolo AOB = AO . OB /2 = 13,50 . 18/2 = 121,5 cm2
A questo punto calcolo la misura dell'altezza relativa all'ipotenusa: basta che divida la doppia area per il lato su cui cade l'altezza (in questo caso l'ipotenusa AB)
OH = Area triangolo . 2 /AB = 121,5 . 2/22,5 = 10,8 cm
Ora lavoriamo sulla piramide per ottenere l'apotema che ci servira' per calcolare l'area laterale.
Osserviamo il triangolo VOH in cui:
VO = cateto maggiore e altezza della piramide = 5,76 cm
OH = cateto minore = 10, 8 cm
VH = ipotenusa e apotema
Applico il teorema di Pitagora a tale rettangolo, ossia:
VH = VO al quadrato + OH al quadrato sotto segno di radice = 5,76 al quadrato + 10,8 al quadrato sotto segno di radice = 33,17 + 116,64 sotto segno di radice = 149,81 sotto segno di radice =12,24 cm

Per calcolare la Superficie laterale applico la formula:
Superficie laterale = Perimetro base . apotema /2
90 . 12,24/2 = 550,8 cm2
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SOLUZIONE PROBLEMA n. 2
Due solidi sono equivalenti quando hanno mle stesso volume, per cui
Volume cubo = V piramide
DATI
altezza piramide = 12 cm
spigolo del cubo = 16 cm
V cubo = V piramide
SOLUZIONE
Conosciamo la misura dello spigolo del cubo (=16 cm) e questo ci poermette di calcolare il volume del cubo e quinti anche della piramide
V cubo = lato al cubo = 16 al cubo = 4096 cm3
Conoscendo il volume della piramide e la sua altezza, con la formula inversa, posso calcolare l'area di base; infatti
V piramide = S base . altezza/3
S base = V.3/altezza = 4096 . 3/12 = 1024 cm3
Ora che conosco l'area di base (un quadrato), estraendo la radice quadrta ottengo la misura del lato di base, 32 cm
Per calcolare l'area totale della piramide, ho bisogno dell area base (che conosco) e dell'area laterale
L area laterale si calcola applicando questa formula
S laterale = perimetro di base . apotema/2
L'apotema coincide con l'ipotenusa del triangolo rettangolo formato dall'altezza e da meta' del lato di base. Quindi per calcolare l'apotema applico il teorema di Pitagora a tale triangolo
meta' lato quadrato = 32/2 = 16 cm
Applico il teorema di Pitagora a tale rettangolo in cui
altezza (o cateto maggiore) = 12 cm
cateto minore (o meta' lato base) = 16 cm
12 al quadrato + 16 al quadrato sotto radice = 400 sotto radice = 20 cm (apotema)
Ora possiamo calcolare l'area kl'aterale della piramide:
perimetro di baee = 32 . 4 = 128 cm
S Laterale = perimetro di base . apotema/2 = 128 . 20/2 = 1280 cm2
S Totale = S Laterale + S Base = 1280 + 1024 = 2304 cm2
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SOLUZIONE PROBLEMA n.3
Disegno la figura in cui:
ABCD = trapezio isoscele
AB = base minore del trapezio
DC = base minore del trapezio
AD e BC = lati obliqui del trapezio
VO = altezza della piramide
OK = apotema di base del trapezio che parte da O e cade perpendicolarmente sul lato obliquo. Essa coincide con il raggio del cerchio inscritto nel trapezio e quindi = 1/2 BH

DATI
VO = 4 cm
DC = 12 cm
AB = 3 cm
BH = 6 cm
Dob biamo calcolare il volume e l'apotema della piramide.
SOLUZIONE
Per calcolare il volume applico la formula seguente: S base . altezza/3
S base = (DC + AB) . BH/2 = (12 + 3).6/2 = 15.6/2 = 45 cm2
V = Sbase . altezza/3 = 45 ,. 4/3 = 15 . 4 = 60 cm3
Ora calcoliamo lapotema della piramide che indichiamo con OK
L apotema della piramide corrisponde all'altezza di una delle quattro facce. Essa coincide con l'ipotenusa del triangolo rettangolo VOK in cui
OK = cateto minore. Corrisponde al raggio del cerchio iscritto nel trapezio la cui misura è uguale a meta' dell'altezza ossia 6/2 = 3 cm
VO = cateto maggiore (e anche altezza della piramide = 4 cm
Applico il teorema di Pitagora a tale triangolo:
4 al quadrato + 3 al quadrato sotto segno di radice = 16 + 9 sotto segno di radice = 25 sotto segno di radice = 5 cm misura dell'apotema della piramide

TI SONO CHIARI TUTTI I PASSAGGI?