Problema sui poliedri

[ques]

Ciao a tutti! avrei bisogno di un aiutino non riesco a svolgere questo problema sui poliedri. Un cilindro di ghisa (ps 7,5) alto 16dm e con il raggio di 6dm presenta una cavità conica avente la base coincidente con la base del cilindro. Sapendo che la superficie totale del solido é 904,32dm quadrati, trova il peso del solido e il lato del cubo equivalente al solido. Grazie per il vostro aiuto!!!

[Ali Q]

Ciao, Ques! Ecco a te la soluzione:

Dunque, prima di tutto, per poter determinare il peso del solido è necessario determinarne il suo volume.
Una volta fatto questo, noto il peso specifico, è sufficiente moltiplicare quest'ultimo per il volume del solido.
Infatti il peso specifico è definito come:
Ps = Peso/volume, dunque:
Ps * volume = peso

Il volume di questo solido è pari a quello del cilindro meno il volume del cono, giacchè il cono ne costituisce una cavità.
Il volume del cilindro è presto calcolato. Di seguito indicherò con il simbolo

[math]P[/math]

il pi-greco.

[math]V(cilindro) = area(base)*h = (P*r^2)*h = (P*6^2)*16 = 36P*16 = 576Pdm^3[/math]

Più difficile è calcolare il volume del cono, giacchè non se ne conosce l'altezza. Infatti:

[math]V (cono) = area(base)*altezza/3 = (P*r^2)*h/3 [/math]

Essendo l'area di base del cono coincidente con quella del cilindro, posso scrivere:

[math]V(cono) = (P*6^2)*h/3 = 36P*h/3 = 12P*h[/math]

Tuttavia il problema ci fonisce l'area totale del solido. Da questo dato si può ricavare l'altezza del cono.
L'area totale del solido è pari alla sua superficie "esterna", costituita dall'area totale del cilindro meno una delle basi (che non esiste in quanto cava) più la sua superficie "interna" costituita dall'area laterale del cono.

[math]A (esterna) = Alat (cilindro) + area base = [/math]

[math]=2Pr*h +Pr^2 = 2P*6*16 + P*6^2 = 192 P + 36 P = 228 P dm^2 = 715,92 dm^2[/math]

Poichè:

[math]A (tot) = A(esterna) + A (interna) = A(esterna) + Alat (cono)[/math]

[math]Alat (cono) = A(tot) - A (esterna) = 904,32 - 715,92 = 188,4 dm^2[/math]

[math]Alat(cono) = Pr*apotema = 188,4 dm^2[/math]

, quindi:

[math]apotema = Alat(cono)/Pr = 188,4/(P*6) = 10 dm[/math]

L'apotema del cono forma al suo interno un triangolo rettangolo, di cui l'apotema costituisce l'ipotenusa. I cateti sono invece costituiti dall'apotema di base (il raggio di base) e dall'altezza.
Noti apotema e raggio di base si può dunque trovare l'altezza del cono grazie al teorema di Pitagora:

[math]h = \sqrt{a^2-r^2}= \sqrt{10^2-6^2}= \sqrt{100-36}=\sqrt{64}= 8 dm [/math]

Quindi, tornando alla formula precedente, relativa al volume del cono...

[math]V(cono) = 12P*h = 12P* 8 = 96P dm^3[/math]

[math]V(tot) = V (cilindro) - V (cono) = 576 P -96 P = 480P = 1507,2 dm^3[/math]

[math]Peso = ps*V = 7,5*1507,2 = 11304 gr = 11,304 Kg[/math]

Due solidi sono equivalenti quando hanno lo stesso volume. Dunque il volume del cubo dovrà essere lo stesso del solido.

[math]V (solido) = V(cubo) = 1507,2 dm^3[/math]

[math]V(cubo) = l^3[/math]

[math]l = radice (cubica)(V) [/math]

(purtroppo non dispongo di una calcolatrice avanzata, quindi lascio a te lo svolgimento di questo calcolo).

Ecco fatto, fine. Ciao!