Problema geometria prisma a base di trapezio isoscile??

[bluna]

Non ho capito come risolvo il problema sarebbe per domani

Un prisma avente per base un trapezio isoscile ha area della superficie totale di 3264 cm quadrati e area della superficie laterale di 2664 cm quadrati calcola il volume del solido sapendo che l'altezza del trapezio misura 15 cm e il rapporto tra le basi è di 3/7

[strangegirl97]

L'area totale di un prisma si calcola con questa formula:

[math]A_t = A_l + 2*A_b[/math]

Noi dobbiamo calcolare l'area di base e per farlo applicheremo questa formula inversa:

[math]A_b = \frac{A_t - A_l} {2} = \frac{3264 - 2664} {2} = \frac{\no{600}^{300}} {\no2^1} = 300\;cm[/math]

Adesso dobbiamo cercare di calcolare il perimetro di base del prisma, vale a dire il perimetro di base.
Come sai già la formula per il calcolo dell'area del trapezio è questa:

[math]A = \frac{(b + B) * h} {2}[/math]

Perciò:

[math]b + B = \frac{2A} {h} = \frac{2 * 300} {15} = \frac{\no{600}^{40}} {\no{15}^1} = 40\;cm[/math]

Per calcolare le misure di ciascuna delle basi possiamo applicare la proprietà del comporre delle proporzioni. Sappiamo che la base minore è i 3/7 della maggiore e possiamo scrivere questo dato sotto forma di proporzione:
b : B = 3 : 7

Ora applichiamo la proprietà:

[math](b + B) : b = (3 + 7) : 3\\
40 : b = 10 : 3\\
b = \frac{\no{40}^4 * 3} {\no{10}^1} = 12\;cm[/math]

[math](b + B) : B = (3 + 7) : 7\\
40 : B = 10 : 7\\
B = \frac{\no{40}^4 * 7} {\no{10}^1} = 4 * 7 = 28\;cm[/math]

Ora ci servono le lunghezze dei lati obliqui e per calcolarle useremo il teorema di Pitagora. Prima però dai un'occhiata a questa figura:


I segmenti AH e KB si chiamano proiezioni e guardando la figura ti puoi rendere conto che sono lunghi quanto la metà della differenza tra le basi, perché sono congruenti. E' una caratteristica tipica del trapezio isoscele. L'altezza CH forma un triangolo rettangolo che ha:
- come ipotenusa il lato obliquo AD;
- come cateto maggiore l'altezza, che misura 15 cm.
- come cateto minore la proiezione AH, di cui ancora non conosciamo la lunghezza.

Calcoliamola:

[math]AH = \frac{28 - 12} {2} = \frac{\no{16}^8} {\no2^1} = 8\;cm[/math]

Quindi:

[math]AD = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\;cm[/math]

Da cui in poi è facile. Calcola il perimetro di base. Poi esegui la divisione tra l'area laterale e il perimetro, per conoscere l'altezza del prisma. A questo punto potrai calcolare il volume: devi moltiplicare l'area di base per l'altezza del solido. In caso di dubbi torna pure qui, dovrei riuscire a stare anche stasera. :) Saluti! :hi