Problema geometria medie

[ale@17]

ciao potete aiutarmi a fare questo problema ma anche a capirlo grazie
un triangolo rettangolo avente l ipotenusa e un cateto lunghi rispettivamente 80cm e 48 cm è la base di una piramide retta. una seconda piramide regolare quadrangolare ha l area della sup. laterale di 2160cmquadr. e lo spigolo di base lungo 36 cm. calcola la misura dell altezza della prima piramide sapendo che le due piramidi sono equivalenti. risultato 20.25

allora equivalenti che hanno la stessa superficie laterale, la stessa sup. totale e lo stesso volume? aiuto grazie a tutti

[Ali Q]

Soluzione:

Un triangolo rettangolo avente l ipotenusa e un cateto lunghi rispettivamente 80cm e 48 cm è la base di una piramide retta. una seconda piramide regolare quadrangolare ha l area della sup. laterale di 2160cmquadr. e lo spigolo di base lungo 36 cm. calcola la misura dell altezza della prima piramide sapendo che le due piramidi sono equivalenti.

Due solidi sono equivalenti quando hanno lo stesso volume.
Due poligoni, invece, sono equivalenti quando hanno la stessa area.

Grazie al teorema di Pitagora, possiamo innanzi tutto determinare il terzo cateto del traingolo rettangolo di base:

[math]c2 = \sqrt{i^2 - c1^2} = \sqrt{80^2 - 48^2} = \sqrt{6400 - 2304} = \sqrt{4096} = 64 cm[/math]

Due piramidi equivalenti hanno lo stesso volume. Calcoliamo dunque il volume della seconda piramide grazie ai dati a nostra disposizione:

Si che, nella seconda piramide:

[math]A lat = Perimetro*apotema/2 = 2160 cm^2[/math]

E che

[math]P = 4* lato = 4* 36 = 144 cm[/math]

Dunque:

[math]apotema = A lat*2/perimetro = 2160*2/144 = 30 cm[/math]

L'apotema, l'altezza e l'apotema di base formano nella piramide un triangolo rettangolo, di cui l'apotema è l'ipotenusa e l'altezza e l'apotema di base sono invece i cateti.
Noto l'apotema, e sapendo nel quadrato l'apotema di base è pari alla metà del lato (36:2 = 18 cm), possiamo determinare l'altezza della piramide grazie ancora una volta al teorema di Pitagora:

[math]h2 = \sqrt{a^2 - ab^2} = \sqrt{30^2 - 18^2} = \sqrt{900 - 324} = \sqrt{576} = 24 cm[/math]

Dunque il suo volume è:

[math]V2 = (Area base*h2)/3 = (36^2 * 24)/3 = 10368 cm^3[/math]

Questa è anche l'area della prima piramide.
Possiamo servircene per determinare l'altezza.

[math]Area base = c1*c2/2 = 48*364/2 = 1536 cm^2[/math]

[math]h1 = V*3/Area base = 10368*3/1536 = 20,25 cm[/math]

Fine. Ciao!

[ale@17]

ciao ti ringrazio innanzitutto xo mi sono perso un momento

quando vai a trovare il volume tu fai area di base alla seconda x altezza diviso 3
pero il volome della piramide non si trova area di base x altezza/3
perche tu lo hai fatto alla seconda?

poi l ultimo passaggio 364 che cos'e?

grazie

[Ali Q]

Ciao, Ale! Rispondo subito alle tue domande:

1) Il volume della piramide è area

[math]base* altezza/3[/math]

. Infatti

[math]36^2[/math]

rappresenta l'area del quadrato di base, che si ottiene elevando la quadrato (o se preferisci, moltplicando per se stesso) lo spigolo di base. Se invece ciò che ti crea dubbi è il fatto che ho scritto

[math]h2[/math]

, questo simbolo non indica l'altezza al quadrato (né la indica quando ho applicato il teorema di Pitagora per determinarla): sta per "altezza n°2", cioè l'altezza della seconda piramide, quella con base quadrata. Gli ho messo come pedice il numero 2 solo per distinguerla dall'altezza della prima piramide, quella a base traingolare.

2) L'ultimo passaggio capisco che ti crei perplessità perchè ho commesso inavvertitamente un errore nello scrivere: doveva essere

[math]48*64/2[/math]

. Mi scuso per la svista: ho semplicemente "battuto" male il numero con la tastiera.

Ciao!